[473]수학, 원의 넓이를 구하는 방법

[473] 2014.5.9.

수학, 원의 넓이를 구하는 방법

 

1. 전시 학습 상기

원의 넓이를 어림으로 구하는 방법을 앞 시간에 공부했다. 원 안에 들어가는 최대 크기 마름모와 원을 포함하는 정사각형의 넓이를 합하여 나누어서 원의 넓이를 어림해서 구했다. 또 모눈 눈금을 그려서 안쪽 네모와 원을 품은 네모를 개수를 알아보기도 했다. 몇몇 아이들 일으켜 세워서 앞 시간에 이런 내용을 말하게 했다.

앞 시간에 원은 그대로 두고 내접과 외접, 또는 모눈 칸을 만들어서 구하는 방법을 썼다면 이번 시간은 원을 쪼개서 네모 모양으로 만들어 원을 구하는 것이다. 사각형의 넓이를 구할 수 있으니까 사각형 모양으로 만드는 것이다.

교과서에는 원 조각을 스티커를 떼서 모눈종이 붙여 보도록 하고 있다. 먼저 이런 활동을 하게 하면 시간도 많이 걸리고, 하고 나서 무엇을 했는지 감을 잡지 못하기도 한다. 그래서 작업은 함께 개념을 알고 난 뒤로 하기로 했다.

오늘은 이 교과서는 나와 함께 설명을 듣고 서로 이야기 나눈 뒤 다시 되돌아보는 복습 차원에서 풀이를 한다.

 

2. 조각내기 영상으로 알아보기

예전에 만들어둔 플래시 자료를 먼저 이용했다. 클릭하면 8조각, 16조각이 쪼개지면서 점점 평행사변형에서 직사각형 모양으로 바뀌어간다.

원주도 둘로 나뉘어 져서 가로의 길이로 바뀐다.

아이들에게 한 사람씩 질문을 하면서 가로의 길이를 어떻게 구하는지, 어떤 길이인지 맞춰가도록 했다. 원주라고 말하는 아이도 있고, 원 둘레의 반, 원주의 반이라고 하는 아이도 있다. 답은 원주의 반이다. 원 둘레의 반이다.

32조각으로 나뉘는 것도 나오고 최종 직사각형으로 바뀌는 것 까지 나온다.

네 번 씩이나 가로의 길이를 어떻게 구하면 될 것인지 물었다. 세로의 길이가 반지름이란 것을 직감으로 아는데 가로의 길이를 바로 말하지 못하는 아이가 몇몇 있다. 쪼개져서 다시 사각형 모양으로 모이는 장면을 8조각, 16조각, 32조각, 수많은 조각을 보면서 되풀이해서 같은 답이 나온다. 그래서 결국 원의 넓이는 직사각형의 넓이가 된다. 그 아래 풀이과정은 보여주지 않고 넘겼다. 여기서는 가로의 길이가 원주의 반이라고 개념만을 확실히 알면 된다.

땀샘_원넓이이해_완성.exe

 

3. 다른 도형으로 바꾸기(삼각형으로도)

두 번째 플래시 파일도 같은 방법이다. 그런데 한 가지 더 있다.

직사각형으로 바뀌는 것은 바로 앞에서 했으니 다시 보며 복습을 한 번 더 하는 셈이다. 직사각형으로 바뀌어가는 형상을 본다.

“직사각형 말고 다른 모양으로 원을 바꾸는 방법은 없을까?”

이렇게 물었지만 갸우뚱거리기만 할 뿐이다. 교과서에도 나오지 않는 방법이다.

삼각형으로 바꾸는 방법이다. 양파 껍질 까듯이 한 겹 한 겹 벗겨서 만드는 것이다. 여기까지 영상을 보면서 바뀌는 모양을 탐색해 보았다.

 

원을_다른_도형으로_바꾸기.exe

 

4. 직사각형으로 계산하기

이제 융판으로 만든 원과 직사각형을 붙여 놓았다. 가로와 세로에 숫자❶ ❷로 표시도 해두었다.

“❶은 무엇일까?”

“❷는 무엇일까? 어떻게 구할까?

차근차근 물어가면서 또 한 사람씩 시켜서 말한다.

아이들이 답하는 말을 따라 칠판에 쓴다.

‘원주의 반 × 반지름’이란 결과가 나온다.

“원주는 어떻게 구하지?”

또 한 아이를 시킨다.

“지름×3.14요!”

“그래, 그래서 지름×3.14에 반이니까?”

“나누기 2요!”

“그렇지, ‘÷2’ 반지름하고는?”

“곱하지요.”

‘지름×3.14÷2 × 반지름’ 이라고 완성이 된다.

“‘×3.14’과 ‘÷2’를 자리를 바꾸어서 ‘지름÷2 ×3.14’라고 해도 되겠니?”

“네!”

‘지름÷2’를 빨간 빗줄을 그으며

“그럼 ‘지름÷2’를 무엇이라고 하면 되지?”

“음, 반지름요!”

“그래, 그렇지 다시 쓰면 ‘반지름× 3.14 × 반지름’이 나왔네. 이제 이것을 다 같이 읽어보세요.”

“반지름 × 3.14 × 반지름!”

“여기에서 3.14와 (뒤) 반지름도 자리를 바꾸자! (자리를 바꾸고) 읽어봐요.”

“반지름 곱하기 반지름 곱하기 3.41!”

“여기서는 왜 이렇게 자리를 바꾸었지?”

“반지름 곱하기 3.14 곱하기 반지름은 외우기가 불편해요. 말하기가 힘들어요!”

“그래, 외우기 쉽게 하려고 위치를 바꾼 것입니다. 결국 원의 넓이는 반지름 곱하기 반지름 곱하기 3.14라는 공식이 나오죠. 그냥 막 외위기 보다는 이런 과정을 거쳐서 나왔다가는 것을 알아야 의미를 제대로 알죠.”

 

5. 삼각형으로 계산하기

원이 삼각형으로 바뀐 모양을 만들어서 붙였다. 밑면에는 ❶ 높에는 ❷로 표시했다.

“이 삼각형의 넓이는 어떻게 구하나요?”

“❶×❷ ÷2 요.”

모두 합창하면서 큰 소리로 말한다.

 

“자, 그럼 이번에도 한 사람 씩 시켜 볼게요.”

“❶은 원의 무엇과 같지요?”

“원주요!”

또 다른 아이를 시킨다.

“❷는?”

“반지름요!”

‘원주’에 밑줄을 그으며

“원주는 또 어떻게 구하지?”

“지름 × 3,14요”

이렇게 말을 주고받으면 써가고 앞 직사각형의 계산과 같이 자리를 바꾸어가면서 결국 ‘반지름 × 반지름 × 3.14’이 나온다.

 

6. 교과서 문제와 익힘책 풀기

이제까지 보고 듣고 말하기를 하고 공책 쓰기를 하면서 공부했다. 이제 교과서 문제를 푼다. 복습인 셈이다. 설명 들었던 것을 되새기며 들은 대로 교과서에 나오니까 확인하면서 푼다. 이때 스티커로 붙이는 것을 한다. 아이들 책상 사이를 둘러보면서 살핀다. 삼각형으로 하는 방법은 교과서에 나오지 않으니 공책에 쓴다. 확인한다.