땀샘 학급살이 이야기

[438] 2014. 4. 14

수학, 쌓기 나무로 만든 입체 도형을 보고 쌓기 나무 개수 구하기

   쌓기 나무로 만든 입체 도형을 보고 쌓기 나무 개수를 찾는 공부다. 쉬울 것 같지만 방심해서 실수하는 부분이기도 하다. 일단 눈으로 개수를 세기 쉬워 보인다.

개수 세기가 무슨 ‘수학’이 될까? 여기에 ‘수학’적인 조건을 만들어야 한다. 수학은 정확하게 정해준다. 정의 한다. 약속한다. 개수를 정확히 하는 약속이 있어야 한다. 그 약속을 글자나 기호, 모양으로 표시한다. 그 공부다.

1. TV 화면에 보이는 쌓기 나무로 만든 입체 도형의 쌓기 나무 개수는?

이번 차시는 실물화상기 사용이 제격이다. 쌓기 나무로 입체 도형을 하나 만들었다. 카메라로 보아 알 수 있는 개수는 14개다. 카메라에 보이지 않는 뒤 부분에 7개를 숨겼다. 카메라에 비친 입체도형이 텔레비전 모니터에 나온다. 이 모니터를 보고 이야기한다.

2. 숨은 쌓기 나무 몇 개인가?

“여러분이 보는 이 (쌓기 나무로 만든) 입체 도형의 쌓기 나무는 모두 몇 개지?”

첫 번째 질문이다. 당연히 14개다. 대부분이 14개에 손을 든다.

“14개 아니라고 하는 사람은?”

“15개요, 18개쯤?”

“눈으로 본 거예요? 더 있을 거라 짐작할 거예요?”

“짐작한 거요!”

“저는 뒤에 조금 보이는데요?”

“선생님이 텔레비전 모니터만 보고 하기로 했는데…….”

“짐작이 아니라 보이는 그대로 말하기입니다.”

앞서 텔레비전 모니터에 보이는 것만 말하기로 했다. 그런대로 한두 녀석이 뒤를 캐려는 시도가 나타난다. 입체도형 양 옆쪽으로 앉은 아이는 실물을 볼 수도 있다.

“선생님이 이 입체도형 뒤쪽에 몇 개 숨겨 두었어요. 몇 개일까?”

“한 개, 두 개, 네 개, 스무 개…….”

여러 개가 이어진다. 한 개씩 꺼낸 본다. 7개를 뺐다.

“최대 몇 개까지 숨길 수 있는지 더 숨겨 볼게.”

아이들은 텔레비전 모니터를 본다. 최대한 안 보이게 숨겼다. 9개를 넘기지 못했다. 이 카메라 각도에서는 최대한 9개까지만 넣을 수 있다. 그래서 이 입체도형은 14에서 23개 까지 쌓기 나무로 만들 수 있다. 정확한 개수를 알 수 없다.

정확한 개수로 꼽기 위해서는 어떻게 해야 하나?

여기서 수학의 필요성이 생긴다. 정확히 정해주는 역할을 그림으로 나타낸다.

밑에서 위로 본 모양을 아래쪽에 그려 놓는다. 만일 뒤쪽에 몇 개가 숨겨 있다면 밑 모양도 더 늘어날 것이다.

“선생님, 이것 이름이 뭐 예요?”

모른다. 지도안을 보아도 마땅한 이름이 없다. 그래서 아이들한테 물었다.

“우리가 정해보자. 선생님이 아직 이름을 찾지 못했어. 우리끼리 약속을 정해보자.”

“밑그림”

“밑바탕”

“밑면”

“다 ‘밑’이란 말이 들어가네. 밑면 바탕 그림?, 밑면 바탕, 아래 바닥 모양?”

“밑바탕 그림이라고 일단 정해두자.”

밑바탕 그림? 괜찮나?

이렇게 밑바탕 그림으로 그려 놓으면 뒤가 있는지 없는지 알 수 있다. 그래야 정확인 개수가 나온다. 정확한 수를 찾게 기호나 표시, 그림으로 나타낸 것이 ‘수학’적이다. 이런 약속 알고 표시 방법도 아는 게 이번 차시 공부다. 이제 밑바탕 그림의 각 칸마다 위로 쌓인 개수를 숫자로 넣으면 전체 개수를 쉽게 셈할 수 있다.

3. 직접 쌓아보기, 숨겨보기

짝 끼리 쌓기 나무를 가져가서 익힘 문제에 나오는 입체 도형을 만들어 보며 문제를 풀어본다.

선생님이 한 것처럼 자기들도 보이지 않는 부분에 숨겨 본다. 한 사람은 카메라가 되고, 한 사람은 숨기는 사람이 되어서 한다. 간단한 놀이가 되었다. 밑바탕 그림이 없으면 보는 각도에 따라 숨길 수 있는 개수가 차이가 난다. 불확실한 숫자가 된다. 확실한 숫자를 표시하기 위해서 ‘밑바탕 그림’을 그려 넣는다.

[417] 2014. 4. 3.

수학, 각기둥과 각뿔

각기둥과 각뿔을 같이 했다. 따로따로 한 차시이지만 묶어서 했다. 직관적으로 보고 알아내기 쉬워 묶었다.

도형 단원은 비교적 쉽게 답을 찾는다. 그렇지만 쉽다고 여기다가 한두 가지 개념을 빠뜨릴 수 있다니 조심할 점도 생긴다. 그런 부분을 찾아서 짚어줄 필요가 있다. 아이들은 어느 부분에서 헷갈려하는 지를 찾는 게 이번 수업의 탐색하고 연구할 부분이다.

칠판 내용은 교과서를 함께 보고 한다. 교과서에는 밑면을 칠하게 되어 있다. 밑면을 빗금을 그을 때는 도형 밖으로 벗어나지 않도록 일정 간격으로 긋도록 지도한다. 낙서하듯이 대충 긋는 애들이 있어서 미리 칠판에 적어두고 살펴보았다. 칠판만 보고 베끼거나 책 내용을 읽지 않고 곁눈으로 친구 책을 보고 그리는 애들도 있다.

생각 없이 하는 습관을 짚는다. 짚어주어야 한다. 생각해서 답한 것이 틀리는 것은 괜찮은데, 생각 없이 따라거나 베껴 쓰기는 곤란하다. 고쳐야 한다. 

얼굴 사진을 붙여두고 아이들이 답할 기회를 준다. 한꺼번에 나온다.

처음에는 밑면에 대한 정의 부분이다. 말 그대로 밑면을 밑에 있는 면으로 생각하지 쉽다. 책에서는 평행한 두 면을 밑면이라고 정의한다. 밑에 있는 면이라고 생각하는 아이들에게는 밑이 될 수 있는 면이라고 말도 해주었다. 그리고 평행이 되지 두 면이 있는 도형을 그렸다. 굽어있는 도형이다. 그래서 각기둥이 될 수 없다. 평행도 아니고 기둥 모양도 아니기 때문이다.

한 아이가 칠판에 그려진 도형만 보고 답을 했다. 교과서를 보고 답을 하라고 했는데 그림을 다 그리지 못하고 대표로 오각뿔을 그렸더니 칠판에 있는 것만 보고 답을 했다. 맞긴 한데 교과서를 보면 다각형이다. 앉은 아이들이 보고 말해둔다. 드러난다. 이상하다고 여기면서 짚어주었다. 칠판만 보고하는 쓴 결과이다. 교과서와 함께 봐야하는데 제대로 챙기지 못한 것 같다. 덜렁댄다고 여겨지는 아이가 여기서 드러난다. 드러나더라도 꾸중할 필요 없다. 오히려 이런 상황이 개념을 뚜렷이 짚을 수 있는 자극이 된다. 답 쓰고 나서 맞는지 판단할 수 있는 시간도 된다. 그래서 답 쓰는 아이들을 조금 긴장하고 집중력도 더 한다. 부담감은 주지 않도록 한다.

‘각뿔의 꼭지점’을 이라고 쓰면서

“이렇게 쓰는 게 맞나?”

“…….”

갑자기 던진 질문. 애매하다. 몇몇 아이가 교과서를 뒤진다. 사실 내가 더 낯설다. ‘꼭짓점’이다. 사이 시옷이어야 한다. 사이시옷을 넣지 않고 답하는 것이 기억나서 한 번 짚어 주려고 던진 질문이다.

남은 시간에 부록에 나오는 각기둥과 각뿔 전개도를 떼어내서 만들어 보기를 했다. 입체 모양을 풀로 붙여서 완성은 하지 않도록 한다.

접어서 만들어 보고 다시 펼쳐서 공책에 붙이게 한다. 붙여서 완성해 버리고나서는 쓰레기통이나 구석구석 버려진다. 그래서 끼워 맞춰 해보기까지 하고 펼쳐서 공책에 붙인다. 다음 차시에도 재활용할 수 있다.

이런 조작 활동할 때는 필요 없는 종이와 결과물 처리 고민도 생긴다. 종이 쓰레기를 바로 버릴 수 있게 종이 상자를 준비한다. 결과물 완성 상태를 그대로 둘 것인가, 보관할 것인가, 다른 형태로 재활용할 것인가를 두 번 세 번 생각한다. 이 도형 단원에서는 입체도형을 굳이 풀로 붙여서 완성해 두지 않아도 된다. 그래서 펼쳐서 공책에 붙인다. 완성 뒤 처리 문제도 고민거리다. 버리기에는 아깝고 모아 두기에는 어중간하고……. 되도록 재활용할 수 있도록 모아두는 방법을 생각한다. 공책에 붙이는 것이 가장 좋고, 다음에는 교실에 전시해 둔다. 전해두더라도 일정 기간을 정해둔다.

학습 전 준비와 학습 뒤 처리 문제도 아이들 학습 과정이다. 학교에서 학급에서 수업은 이런 부분까지 종합적으로 이루어진다. 학원과 결코 같을 수 없다. 공부와 학습의 범위가 넓다. 삶의 공부다. 우리는 학급에서 살아간다.