땀샘 학급살이 이야기

[655] 2014.11.18.

수학, 방정식의 성질을 알아보기

방정식의 성질을 알아보는 시간이지만 먼저 어제한 수직선으로 나타내기를 확인했다. 어제 집중해서 공부하긴 했지만 오늘까지 잊지 않고 있는지 살펴보았다.

한 명씩 나와서 시켜 보니 여섯 번째에 맞았다. 먼저 그려야할 것, 화살표 방향과 차례가 맞맞아야 하는데 아직도 개념이 헷갈리는 모양이다. 다시 되풀이해서 몇 번 더 했다.

오늘은 방정식의 성질 네 가지를 이어서 했다. 양변에 같은 수를 더하고 빼도 같다는 것과 양변에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 같다는 성질이다.

저울을 그려서 알아보고, 문제를 보고 수직선으로 나타내고 다음 방정식으로 푸는 과정으로 이어진다. 어제 오늘 수직선으로 나타내기를 자꾸 하게 된다.

문장에서 구하려는 미지수, 화살표를 하지 않아야 할 수 따위를 먼저 표시하고 수직선에 나타내도록 했다. 두 사람 씩 나오게 해서 그리게 했다. 틀리면 맞을 때 까지 다른 사람이 나오게 한다. 그 다음에 방정식으로 푸는 방법을 쓴다.

두 사람씩 시키다 보니 틀린 아이도 생겨서 모두 한 사람에 두 번 씩 돌아가기도 했다. 많이 틀리는 부분은 아이들 끼리 웅성웅성하면서 찾아낸다. 바로 답을 불러주기 보다는 맞는 사람이 나올 때 까지 하니까 어떤 것을 틀린 것인지 집중하게 된다.

[654] 2014.11.17.

수학, 방정식을 수직선으로 나타내기

방정식 공부를 한다. 방정식 조건인 미지수와 등호가 있어야 한다는 사실을 곧잘 안다. 눈으로도 바로 확인할 수 있다. 그런데 등식을 수직으로 나타내어 보라는 것에 막힌다.

식을 먼저 써 놓고 미지수를 먼저 그리고, 다음은 2, 6 순서로 그린다. 뺄셈에서도 그렇다. 방향 표시가 없기도 하고 왼쪽인지 오른쪽인지 구분이 제대로 되지도 않는다.

무엇을 먼저 그리는지, 방향은 어떻게 해야 하는지에 대한 개념이 잘 서지 않아 식 먼저 써 놓고 수직선에 맞추는 꼴이 되었다. 수직선 그리고 방정식으로 나타내야하는데 말이다.

방정식 X+2=6, 5-X=2에서 먼저 덧셈에서는 6, 뺄셈에서는 2를 먼저 표시한다. 결과가 6,2가 되었다는 말이다. 그래서 두 수는 수직선에서 화살표가 없다. 확정된 수이기 때문이다.

미지수 X는 우리가 구하려고 하는 수이니까 마지막으로 표시한다. 더하기 표시는 오른쪽으로 빼기 표시는 왼쪽이다. 그래서 화살표 방향 표시도 중요하다. 뺄셈에서 2 다음으로 5를 표시하면서 오른쪽 방향 표시를 한다. 이제 남은 것을 X이다. 앞에 빼기 표시이므로 왼쪽으로 방향으로 향한다.

이런 원리로 가장 먼저 표시해야할 숫자를 찾고, 다음에는 표시할 숫자를 찾아 방향을 표시해 나간다. 방향을 표시하지 말아야할 숫자가 하나가 나오면 나머지는 모두 방향 표시가 있어야 한다. 개념이 확실하게 설 때 까지 몇 번씩 반복해서 해보았다.

어느 정도 아이들이 개념을 찾았다 싶어서 교과서에는 나오지 않지만 조금 긴 수식도 해보았다. 바로 적용이 된다. 내일도 한 번 더 시켜봐야겠다. 잊지 않아야겠다.

[619] 2014.10.7.

수학, 원기둥의 전개도와 겉넓이[1,2차시]

원기둥의 전개도를 알아보려고 직각기둥도 함께 그렸다. 앞 시간 내용도 다시 복습하고 확인해보는 효과가 있다.

1. 전개도 그리기(둘씩 시키기)

각기둥과 원기둥에 둘씩 나오게 해서 전개도를 그려보게 했다. 어떤 모양이 나오는 지 살펴보고 이야기 한다. 각기둥에서 밑면의 위치가 차이가 난다. 원기둥은 거의 비슷하게 그려진다.

2. 겉넓이 구하는 방법은 몇 가지일까?

직각기둥 겉넓이 구하는 방법은 여러 가지다.

여섯 면을 일일이 다, 같은 면을 두 쌍씩, 밑면 둘과 옆면 하나로 계산하는 법이 있다. 교과서에는 마지막 방법이 자세히 설명되어 있다. 세 방법을 또 이야기했다. 어떤 방법이 계산 과정을 줄여서 정확히 빠르게 풀 수 있는지 또 생각해보게 한다. 결국 마지막 방법이 된다. 앞 시간에도 찾아본 내용이다.

원기둥은 두 밑면과 옆넓이를 구하는 방법 밖에 없다. 옆넓이 구하기가 헷갈리기 쉽다. 이해하는데 시간이 걸리는 애들도 몇몇 있다. 특히 옆넓이의 가로 길이다. 밑면을 한 바퀴 돌린 길이인 밑면 둘레, 원주다. 다시 설명하거나 모를 듯한 아이를 시켜서 왜 그렇지 까닭을 물었다.

3. 원기둥의 겉넓이 구하기

겉넓이 구하기 활용 시간이다. 여러 길이를 주고 계산해본다. 입체 도형, 전개도, 회전체로 알아보는 문제다.

4. 나와서 설명해보기

세 형태 문제를 각각 나와서 풀어보고 설명하도록 했다.

입체 도형을 보고 겉넓이 구하기는 되도록 전개도를 그려서 풀도록 한다. 그냥 암산하듯이 푸는 아이는 계산 과정만 있고 식이 거의 없다. 체계 있게 전개도를 그려서 식을 세우고 차근차근 풀도록 했다. 눈에 보이게 그려놓으면 중심도 잘 잡히고 실수도 덜 한다.

5. 비율과 맞춰서 회전체 그리기

세 번째 문제는 회전축으로 돌려 만든 회전체(원기둥)의 겉넓이 구하기 문제다.

먼저 회전체를 완성해야 한다. 여기서 아이들은 회전체 모양만 대충 맞춰 그리고 만다. 크기 비율이 맞지 않다. 그래서 회전체의 단면 가로 길이(반지름)은 돌리는 단면 두 배가 되어야 한다. 정확히 재지 않더라도 가상의 회전축을 그려 놓고 두 배 길이만큼 폭을 그려야 정확하다. 이때 되도록 쓸 수 있는데 까지 자를 쓴다.

회전축과 가로, 세로는 밑그림 하듯이 자로 희미하게 그어두고 입체 도형을 완성해나가면 정확하고 보기도 좋다. 모양만 대충 그리고 반지름과 높이만 써 놓은 것과 눈에 띄게 달라 보인다. 수학에서 그리기(작도)는 ‘정확성’이 중요하다. 입체도형이라서 평면에서 그리기가 까다롭지만 비율 정도는 맞춰야 하지 않겠는가?

[604] 2014.9.18.

수학, 회전체와 회전체의 단면 알아보기

회전체 단면은 찰흙으로 만들어 직접 잘라보는 방법으로 작년까지 해 왔다.

두 번 이런 방법을 써 보았다. 처음에는 찰흙으로 입체 도형을 만드는데 시간이 오래 걸렸다. 다 만들고 잘라보는 활동이 짧거나 반듯하게 잘라지지 않아서 효과를 못 보기도 했다. 두 번째는 시간이 낚싯줄이나 머리카락으로 자르면 시간이 줄긴 해도 만드는 모양이 불규칙해서 단면도 불규칙적인 부분이 많아서 학습효과는 그렇게 높지 않을 것 같았다.

이번에는 찰흙으로는 하지 않았다. 교과서 그림을 그대로 칼라 프린터해서 직관적으로 살펴보고, 영상으로 확인해보는 방법으로 짜 보았다.

애매할만한 부분에는 여러 경우의 그림을 그려서 손을 들게 했다.

회전축을 품거나 수직으로 자른 단면은 직관적으로 잘 찾아낸다.

입체도형을 비스듬히 자랐을 때가 애매하다. 타원 같기도 원 같기도 해서 애매하다. 직접 해보면 좋겠는데 이번에는 준비가 늦었다. 찰흙보다는 무나 당근과 같은 좀 딱딱한 대상을 칼로 자르면 확실하게 표가 난다. 자른 과정이 담긴 영상을 보면서 살폈다. 중요 장면에 멈추기와 재생시키며 단면을 확인했다.

구에서도 비스듬히 자른 부분이 타원인지 원인지 바로 튀어 나오지 않는다. 이런 부분에 집중해서 고민하게 했다.

다 함께 칠판 보면서 풀고 나서 교과서와 수학 익힘책 풀이를 했다.

수학 익힘책도 오늘은 함께 다 풀도록 했다. 답을 맞춰보면서 그릴 때 정확하지 못한 부분을 살펴보았다. 회전체를 그릴 때 회전체 밑면의 지름이 회전 전의 도형의 가로 길의 두 배다. 그런데 도형이 가로 만큼만 회전체 밑면의 지름 길이로 그리는 아이가 많이 보인다. 모양만 닮았지 비율이 맞지 않다. 비율까지 대충 맞추도록 설명을 해주었다. 회전축을 길게 아래로 늘여서 기준을 잡으면 쉽게 비율에 맞춰 그릴 수 있다.

[600] 2014.9.15.

수학, 원뿔 알아보기. 밑면의 길이 재기에서

원기둥에서 원뿔로 넘어가고 있다. 원뿔 구성 요소를 알고 각뿔과 원기둥과 비교하는 과정이 나온다. 같은 점과 다른 점도 찾아본다. 주로 밑면 모양과 개수, 옆면 모양과 개수, 모서리와 모선, 꼭짓점의 개수를 구분하거나 공통점을 찾을 수 있다.

입체 도형 모양 꾸러미와 30cm 자, 삼각자(삼각 도형)를 준비했다. 입체 도형 꾸러미 안에 원기둥, 사각기둥, 삼각기둥, 사각뿔, 원뿔이 들어 있다. 원뿔만 하나 꺼내 놓게 다 펼쳐 놓으면 바로 손장난(!)에 들어가기 때문이다.

원뿔과 사각 기둥, 원뿔과 원기둥, 원뿔과 각뿔을 차례대로 들고 이야기 나누었다.

같은 점과 다른 점 세 가지씩 이야기한다. 눈치 빠른 녀석은 칠판 내용이란 것을 안다. 그렇지만 칠판에 써 놓기만 하고 아무 말을 하지 않았다.

먼저 원뿔을 들고 하나하나 이름을 정해 보기로 했다.

(밑면을 가리키며) “이게 이름을 뭐지?”

(원뿔의 꼭짓점을 가리키며) “이번 뭐라고 말하면 좋을까?”

책은 보지 않고 내가 든 원뿔만 보고 이야기 한다. 미리 학습했거나 학습지로 익힌 아이들이 먼저 답이 튀어나오기도 한다. 그냥 짓고 싶은 이름대로 말하면 된다. 이 과정이 칠판에 쓰인 차례대로다. 그냥 원뿔모양을 하나 꺼내 말하듯이 했기 때문에 아이들이 칠판대로 한다는 느낌을 받지 못했다.

“같은 점 세 가지만 찾아보자.”

“다른 점이 무엇일까?”

이렇게 질문을 던지고 무작위로 시켜 본다. 10여분 정도 이야기하고 칠판에 쓴 내용을 공책에 쓰도록 했다. 지금까지 이야기한 게 다 있다는 것을 눈치 챈다.

칠판에 내용 정리할 사람을 나와서 시켰다. 다시 정리가 되는 셈이다. 좀 애매하게 답하는 아이에게 가서 다시 생각해보라고 말해주면 고민하다가 바로 잡는다.

이번 시간에 가장 애매해하는 부분이 바로 원뿔의 밑면의 지름을 재는 방법이다. 교과서 설명 그림을 보고 제대로 따라 하기 못한다. 자와 삼각도형을 두 개씩 준비했다.

원뿔의 밑면의 지름을 자를 세워 그 위에 올려서 재려는 아이들이 많았다. 그렇게 재면 정확하지 않을 것인데 말이다. 그래서 방법을 일러주지 않고 책을 보고 해보라고만 하고 기다려 본 것이다.

책에 나와 있어서 잘 알 것이라 여기지만 아이들 공간 지각력이 의심되는 상황이다. 한 모둠만 빼고는 모두 자를 세우거나 들고 재려고 했다. 자를 눕혀서 해야 하는 것을 깨닫는데 몇 분이 걸렸다.

그림으로 보는 것과 직접 해보는 것에는 차이가 있다. 원뿔과 원기둥, 원뿔과 각뿔은 직감으로 풀어지기도 한다. 해마다 이 부분, 밑면의 지름의 길이를 재기에는 직감으로 잘 되지 않는 듯하다. 그래서 이 과정의 체험이 필요했다.

“아, 아……”

어떤 감탄사일까?

[596] 2014.5.11. 수학, 2.원기둥과 원뿔

원기둥 알아보기

원기둥 알아보기는 교과서를 실물화상기에 놓고 했다.

활동6까지 이어진다. 공책에 그리거나 쓰면 이번 시간에는 많이 걸린다. 활동6에 크기가 다른 원기둥 3개 그리기가 나와서 수학 교과서에 그대로 그리기로 했다. 따로 공책에 쓰지 않고 바로 책을 보면서 함께 풀어갔다.

활동 하나씩 나올 때마다 함께 읽고 한두 아이 시켜서 답을 하게 했다.

활동3,4,5는 질문이 서너 가지다. 마지막 질문은 성질을 묻는다. 이 성질은 앞 질문의 답을 모으면 된다.

칠판에 그린 그림은 원기둥이 되지 않는 모양들이다. 밑면이 둘 다 원이지만 크기가 다른 것,둘 다 원이지만 평행하지 않는 것, 같은 모양이지만 높이가 기둥 모양, 수직이 아닌 것이다. 아닌 모양을 그리면서 원기둥 성질을 더 뚜렷하게 드러낸다.

이번 시간은 되도록 자를 쓰도록 힘주어 말했다. 대충 슥슥 갈기고 마는 아이가 몇몇 있어서 꼭 자를 쓰게 한다. 빨리 대충 그린 아이도 지워서 다시 그리도록 한다. 이것은 성격의 문제다. 성격이 쉽게 고쳐지지 않지만 노력은 꾸준히 해야 하지 않을까 싶다.

[586] 2014.9.2. 수학 1. 분수와 소수의 혼합 계산

수학, 풀이 과정 가지런히 쓰기

분수와 소수의 혼합 계산은 아이들이 조금은 쉬운 듯 여기기도 한다. 답을 잘 맞힌다고 표현을 해야 할까, 답을 잘 찾는다는 말이 어울릴 듯하다. 혼합 계산에서는 어느 것을 먼저 계산하는지 알아야 한다. 또 어떤 계산과정을 거치는 지도 체계성을 갖추어야 하겠지. 공식 끼워 맞추기식으로 푸는 아이도 보인다. 답을 맞히는 방법을 익힌 ‘선수 학습자’가 있기 때문이다. 하지만 이런 선수학습을 한 아이도 풀이과정을 써보라고 하면 쉽지 않다.

교과서 문제를 칼라 인쇄했다. 흰 바탕에 글이 한눈에 들어온다.

세 아이를 먼저 시켰다. 책은 오늘도 처음부터 펴지 않도록 한다. 교과서를 보면 풀이과정이 눈에 들어오기 때문에 생각하지 못하게 하는 단점이 생긴다.

“이 문제를 읽고 식만 세워주세요. 식입니다.”

두 아이가 먼저 빨리 쓰고 돌아오려다가 누군가

“괄호는?”

이란 말에 돌아가서 괄호를 쳐 놓고 들어갔다.

한 아이는 괄호 없이 썼다. 셋이 다 다르다.

이 식만으로도 할 이야기가 많다. 어떤 게 맞나 앉은 아이들에게 생각해보라고 했다. 손가락을 펴서 답을 말하면 안 된다. 잠시 기다리고 있는데 한 녀석이 바로 “3번이요!”이라고 외쳤다. “에이, 야!” 하면 야유가 나온다. 먼저 말해서 생각 기회를 빼앗아 버려서 눈치 준 것이다.

이제 우리 반 아이들은 빨리 답하는 게 좋은 게 아니라는 것을 안다. 아이들마다 이해 속도가 다르다. 여럿이 함께 공부하는 자리에서는 그 차이를 기다려 주었다. 그게 학습 예의다. 그래서 모두 배울 수 있는 최소한의 고민 시간을 갖도록 기다려주어야 한다. 먼저 말하면 반칙이다. 생각 시간과 기회를 뺐기 때문이다. 그래서 바로 야유가 나온 것이다. 괜히 먼저 답한 아이가 머쓱해진다. 습관적으로 모르게 튀어난 것으로 안다.

어느 식이 맞는지 알았으니 이제 개별로 공책에 푼다. 그동안 두 아이를 시켜 칠판에 풀게 했다. 한 아이를 먼저 시키고, 조금 있다가 두 번째 아이는 앞 아이가 푼 것과 다른 방법으로 풀도록 한다.

먼저 나온 녀석이 암산을 하더니만 답만 달랑 쓰고 들어가려고 하기에 풀이과정도 쓰고 가라고 했다. 둘 다 그렇게 이 정도 문제는 풀 수 있다. 답은 맞는데 풀이 과정을 쓰라는 말에 한참을 고민했다. 두 번째 아이는 더 이상 못 쓰겠다고 포기하고 들어갔다.

이렇게 쓴 놓은 것으로 원인을 찾아 고쳐가는 것이 이번 시간 핵심이다. 틀렸으니 좋은 공부거리다. 아이들이 답만 쓰라고 하면 어찌어찌해서 풀어낸다. 풀이 과정을 쓰라고 하니까 ‘감’을 잡지 못하는 것 같다.

빨간 분필로 밑줄을 그었다.

“어떤 것이 이상하지? 이상한 부분이 무엇인지 찾아보자.”

아이들이 고민한다. 이상한 부분을 찾은 아이는 손든다.

하나, 둘, 셋 정도가 손을 들고 조금 더 기다린다.

넷, 다섯, 여섯 정도 손을 들었을 때 한 아이를 시켜서 나와 설명하게 했다.

위 식에서 괄호 부분만 따로 계산하고 등호를 붙였다. 나누기 3이 빠진 것이다.

시험 칠 때 빈자리에 따로 낙서처럼 계산한 식을 풀이과정이라 써 놓은 것이다. 계산하고 지울 것을 그대로 쓴 꼴이다. 이것이 풀이 과정이라 여기는 아이가 많은 것 같다. 그래서 공책에 쓴 풀이과정도 가지런하지 못하다. 쓴 사람이 설명을 해야 이해를 하거나 짐작해서 안다.

차근차근 푸는 과정을 썼다. 분수로 계산할 때는 분수 답이, 소수로 계산할 때는 소수로 답이 나오도록 해 본다. 왼쪽 정렬이 되도록 가지런히 해준다.

바로 두 번째 문제를 붙였다. 같은 방식으로 해보라고 시켰다.

제대로 듣지 못한 아이 둘을 시켰다. 역시나 앞 설명을 이해 못한 모양이다. 따로 계산할 것을 그대로 써 놓는다. 등호가 성립되지 않는다. 친구들에게 가서 물어서 다시 풀어보라고 했다. 시간이 좀 걸려도 기다려준다.

다시 한 번 더 가지런히 쓰면서 풀어준다.

소수와 분수로 고쳐서 풀 때 첫 번째는 연산 기호는 그대로 두면 편리하다. 다음 분수는 소수로, 소수는 분수로 고치면 된다. 다음은 곱셈이나 나눗셈하고 마지막으로 덧셈 뺄셈으로 이어지면 된다. 그 과정에서 암산하기 힘든 계산은 빈자리에 셈한다. 그 셈 과정을 풀이과정에 쓸 필요는 없다. 이런 셈을 풀이과정이라고 여겨서 두 번 본보기를 보여준 것이다.

세 번째 문제에서는 어느 것을 먼저 풀 것인가 하는 고민을 하게 했다.

모두 눈을 감게 하고 세 문제를 붙여 두었다. 눈을 떠 어느 것이 맞는지 손들게 한다. 너무 빨리 답하지 않게 한다. 생각 시간을 넉넉하게 줘야 한다. 전체를 대상으로 답을 물으면 분위기에 묻어가기 때문에 다른 사람 눈치 보지 않게 말하도록 연구한다. 손가락으로 동시에 표시하기도 하고 공책에 남이 보지 않도록 쓰라하기도 한다.

이제 두 가지 방식으로 풀면 된다. 두 아이가 푼다. 이제는 아예 소수로, 분수로 풀라고 지정했다. 풀이 과정을 가지런히 줄맞춰 푸는지도 살펴보았다. 두 번의 본보기가 효과가 있는지 가지런히 쓴다. 줄이 비뚤하면 칠판 눈금에 맞추게 한다.

가지런히 썼다. 소수 계산은 소수로, 분수 계산은 분수로 답했다. 다시 한 번 아이들에게 이야기를 해 준다. 답을 꼭 소수 계산은 소수로, 분수 계산은 분수로 하라는 것은 아니다. 먼저 그렇게 해보고 복잡해지면 쉽게 나오는 과정에 따라 답을 바꾸면 된다.

여기서 또 한 번의 고민거리를 던졌다. 분수 계산풀이과정에서 줄일 수 있는 부분이 어디일까?

알겠다고 생각하는 사람은 나와서 내 귀에 귓속말로 말하면 된다. 두 아이가 나와서 맞추었다. 세 번째, 네 번째 아이는 틀렸다. 한 5분 정도 기다리고 있으니 곳곳에서 속삭임이 들린다.

두 번째 풀이과정에서 분모가 2인 분수가 둘이다. 5/10도 분모를 2로 약분해서 만들 수 있다. 식 전체를 살피면 보일 것이다. 그런 눈높이와 폭이 필요하다. 모든 식이 다 그렇지 않다. 이번에는 그런 부분이 보여서 한 번 짚어 주었다. 풀어가면서 식 전체를 한번 훑어보는 힘도 중요할 듯하다.

마지막 문제는 열심히 가지런히 푼다. 분수를 대분수로 바꿀 수 있는데 바꾸지 못한 것이 아쉽지만 말이다.

[584] 2014.9.1. 수학. 1. 분수와 소수의 혼합 계산

수학, 소수÷분수, 분수÷소수 계산하기

“오늘은 교과서를 먼저 펴지 마세요!”

오늘은 칠판에 붙은 문제만 보고 풀기로 했다.

아침에 일찍 와서 교과서 문제를 B4 마분지로 인쇄 했다. 분수와 소수의 나눗셈을 푸는 방법에 대한 공부한다. 하나는 분수를 소수로, 하나는 소수를 분수로 계산해보고 서로 편리한 방법을 찾는다. 아이들마다 다르게 그 편리함을 느낀다. 어느 것을 고집할 필요는 없다.

모두 공책에 쓰면서 두 가지 방법으로 풀어보라고 했다. 따로 설명은 덧붙이지 않았다. 눈치 빠른 아이는 학습 목표만 보면 대충 감을 잡는다.

두 문제이니까 두 아이를 시켰다. 쓴 식을 보니 문제에는 1/2이라고 나온 것을 바로 0.5로 바꾸어서 식으로 나타내었다. 다른 애는 문제 숫자 그대로 써서 식을 만들었다. 여기서 질문을 던졌다.

“혹시 이상한 부분이 없니?”

조용히 기다리고 있으니 서넛이 손을 든다. 10명 가까이 많아 졌다.

내가 본 것과 같이 문제 숫자를 미리 계산해서 소수로 쓴 것을 집어냈다. 틀린 것은 아니다.그래도 쓴 아이가 나와서 고치게 했다. 평소 빨리 풀려고 한 버릇이 아닐까 싶다.

다음은 여자 아이들 둘을 시켜서 풀어 보라고 했다. 푸는 과정을 본다. 둘 다 분수를 소수로 고쳐서 풀었다.

“이미 두 사람 방식과 다르게 풀어볼 사람?”

이번에는 하고 싶은 사람 둘을 시켰다. 아직까지 분수를 소수, 소수로 분수로 바꾸어 푼다는 말은 하지 않았다. ‘다른 방법’으로 풀게만 했다. 말하지 않아도 아이들은 감을 잡았다.

모두 네 사람이 풀었다. 그런데 한 아이가 조금 다른 점이 보인다.(소수와 소수의 나눗셈인데 분수로 답을 했다. 틀리지는 않다. 소수끼리 나눗셈에 소수로 답하는 게 많아서)

내 눈에는 띄는데 아이들도 이렇게 보일까 싶어서 물었다.

“네 사람이 잘 풀었네. 그런데 선생님이 보기에는 틀린 것은 아닌 데, 좀 어색한 점이 보이는 게 있어. 어느 부분인지 찾을 수 있을까?”

잠시 기다리니 몇몇이 손을 든다. 손을 든 아이가 나와서 어느 부분이 어색한지 찾아보라고 했다. 둘 다 약분하는 과정이 이상하다고 손으로 가리키며 말했다.

몇 분 기다려도 아무런 반응이 없다. 전체적으로 어떤 숫자가 어떻게 바뀌면서 푸는 분수와 소수라는 말을 약자로 쓰면서 말했다.

분수를 소수로 바꾸어서 소수끼리 셈으로 해서 소수가 되고, 소수를 분수로 바꾸어서 분수끼리 셈하여 답이 분수가 되었다는 말로 풀었다. 그래도 이 네 본보기로는 아직 애매하다. 자연수 답이 나와서 구분이 뚜렷하지 않았다.

소수끼리 계산에서는 소수로 답하라는 법은 없다. 이런 부분에 한번 고민해보라는 마음에서 짚어 두었다. 고민거리와 고민 시간이 아이들 생각을 불러일으키기 때문이다.

그러면서 소수끼리 계산해도 몫이 무한 소수일 때는 분수로 나타내는 게 정확하다. 그래서 덧붙여 설명해주었다.

아이들 곁을 살피다보니 소수 끼리 계산에 시간에 많이 머뭇거리고 있었다. 과정을 차근차근 밟다보니 자리수가 많은 소가 계산에 시간이 걸렸다. 나누는 수와 나누어지는 수도 약분할 수 있다. 그래서 수를 좀 줄여서 풀면 조금은 쉬워진다. 이런 수도 약분할 수 있다는 생각을 못하는 아이가 많다. 약분하면 훨씬 계산하기도 수월해진다. 정확하기도 하다.

소수의 분수의 혼합계산은 시간만 넉넉하면 아이들이 다 풀어낸다. 계산과정이 길다보니 귀찮아해서 실수가 잦다. 마음의 문제다. 감정 다스림이 필요하다. 계산 과정을 효율적으로 하는 방법을 한두 가지씩 알려 주면 푸는 재미도 붙을 것이다.

1/2=0.5, 1/4=0.25, 1/8=0.125, 3/4=0.75

이 같은 숫자는 바로 분수에서 소수로, 소수에서 분수로 바로 튀어나오게 외워두는 게 좋다.자주 풀다보면 외워질 것이다. 이런 것 하나 하나까지 계산 하다 보면 시간이 많이 걸리는 것이다.

이번 시간은 아이들 무엇을 헷갈려하고 느린 것인지 찾는 것에 눈여겨보았다. 이런 부분이 나오면 집중이 잘 된다. 아이들 호기심이나 관심이 생기고 높아져서 집중이 자연스럽게 된다.가려운 부분을 찾아 긁어주는 셈이다. 긁고 싶은 곳이라 짐작만하고 가르치면 헛다리짚기 쉽다. 수학은 무엇보다 무엇을 모르는지, 헷갈려하는 지 찾는 과정이 중요하겠다.