땀샘 학급살이 이야기

[420] 2014.4.4.

수학, 각기둥의 전개도 그리기

각기둥의 전개도를 그려보기 때문에 자와 컴퍼스를 준비했다. 책에 바로 그린다.

1. 전개도 모양 그리기 [개인 발표 그리기] 사각 기둥, 삼각기둥

전개도 그리기에 앞서 여러가지 펼친 모양전 찾기부터 시작이다. 사각기둥과 삼각기둥이 먼저 나왔다. 두 아이를 시켜 서로 다른 전개도 모양을 그리게 했다. 곧잘 그렸다. 좀 더 다양한 모양으로 더 나오게 할 수 있겠지만 작도 시간이 걸려서 이 정도까지만 했다.

2. 자와 컴퍼스 학습 자료 준비

전개도 그리기에 자와 컴퍼스가 필요하다. 

자는 당연하고 컴퍼스는 삼각기둥 밑면인 삼각형 모양을 그릴 때 꼭 필요하다. 학년 자료로 준비되어 있어서 가져왔다.

3. 컴퍼스에 삼각형 밑면 그리기 안내

사각기둥 전개도는 눈금표에 대고 바로 그으면 된다. 

삼각기둥 전개도에서 밑면 삼각형은  컴퍼스가 필요하다. 자로 대충 그릴 수 없다. 아이들도 삼각형 작도는 지난 학년에 딱 한 번만해 보고 그 뒤로 그려본 적이 없다. 가물가물 그리는 모양이다. 그리는 방법을 다시 설명해주었다.

4. 작도하기와 살펴보기

이제 책에 바로 자와 컴퓨터로 그린다. 사각 기둥은 자로 하나로 금방 그린다. 모양은 칠판에도 있지만, 직감으로 바로 여러 가지 모양으로 바로 만든다.

5. 오개념 발견

삼각형 그리기에 문제가 드러났다. 몇몇이 삼각기둥 밑면과 옆면의 모양(길이)이 이상하다.

눈금 한 칸이 1cm이다. 삼각형 밑변이 6cm이면 6칸이다. 4cm와 3cm는 4칸, 3칸 된다. 그런데 컴퍼스를 안 쓰지 않고 자만으로 그려 놓은 게 보였다.

한 옆면 길이가 이상하다. 오려서 입체도형 만든다고 조금만 상상해도 고칠 수 있다.

6. 다시 작도 설명, 개념 형성

앞엣것 4cm와 3cm를 실수한 아이들처럼 그려 보았다. 하던 작도를 멈추고 보고 듣는다.

먼저 6cm를 그었다. 6칸이다. 쉽다. 

그 다음 4cm를 그리는데 밑변과 나란히 4칸을 표시, 3칸 위에 꼭짓점을 잡아서 그었다. 3칸은 높이가 된다. 여기까지 그리고 맞느냐고 물었더니 반쯤은 맞다는 눈치다. ‘틀렸다’는 말이 금방 나오지 않는다. 컴퍼스를 쓰지도 않았다. 모양도 안정적으로 보인다. 느낌상 맞다는 눈치다. 틀렸다. 사선 모양의 길이가 4칸과 3칸이 되어야 한다.

아래쪽에 다시 그렸다. 4칸과 3칸 길이를 컴퍼스로 재어서 두 원호를 그려 만나는 점을 정했다. 그 점을 밑변 양 끝점으로 이으면 정확한 4칸과 3칸 길이가 된다. 그래서 컴퍼스가 있어야 한다.

삼각기둥 전개도 그리기에서 삼각형 그리기에 가장 실수가 많다. 컴퍼스 없이 대충 감으로 그려서는 안 된다. 전개도 전체 모양만 생각하고 대충 넘어기면 안 된다. 너무 많은 시간을 삼각형 그리기에만 머물러 있어도 안 되겠지. 시간 조절을 적절하게 해서 정확하고 확실하게 삼각형 그리기를 다진다.  그것이 되어야 마음대로 각기둥을 그려 낼 수 있다.

7. 고치기와 제대로 그리기

제대로 그리고 있는지 아이 곁에서 살피고 챙긴다.

여전히 한두 아이는 틀린다. 설명을 제대로 듣지 않았거나 느려서 그렇다. 옆에서 또 천천히 말해 주면 컴퍼스 사용하는 것도 챙겨보고 지도 한다. 자 만으로는 정확히 그릴 수 없다. 우연히 정확하게 맞을 수는 있겠지만 늘 그러지는 못한다. 정확한 작도법도 함께 익히는 시간이다.

[417] 2014. 4. 3.

수학, 각기둥과 각뿔

각기둥과 각뿔을 같이 했다. 따로따로 한 차시이지만 묶어서 했다. 직관적으로 보고 알아내기 쉬워 묶었다.

도형 단원은 비교적 쉽게 답을 찾는다. 그렇지만 쉽다고 여기다가 한두 가지 개념을 빠뜨릴 수 있다니 조심할 점도 생긴다. 그런 부분을 찾아서 짚어줄 필요가 있다. 아이들은 어느 부분에서 헷갈려하는 지를 찾는 게 이번 수업의 탐색하고 연구할 부분이다.

칠판 내용은 교과서를 함께 보고 한다. 교과서에는 밑면을 칠하게 되어 있다. 밑면을 빗금을 그을 때는 도형 밖으로 벗어나지 않도록 일정 간격으로 긋도록 지도한다. 낙서하듯이 대충 긋는 애들이 있어서 미리 칠판에 적어두고 살펴보았다. 칠판만 보고 베끼거나 책 내용을 읽지 않고 곁눈으로 친구 책을 보고 그리는 애들도 있다.

생각 없이 하는 습관을 짚는다. 짚어주어야 한다. 생각해서 답한 것이 틀리는 것은 괜찮은데, 생각 없이 따라거나 베껴 쓰기는 곤란하다. 고쳐야 한다. 

얼굴 사진을 붙여두고 아이들이 답할 기회를 준다. 한꺼번에 나온다.

처음에는 밑면에 대한 정의 부분이다. 말 그대로 밑면을 밑에 있는 면으로 생각하지 쉽다. 책에서는 평행한 두 면을 밑면이라고 정의한다. 밑에 있는 면이라고 생각하는 아이들에게는 밑이 될 수 있는 면이라고 말도 해주었다. 그리고 평행이 되지 두 면이 있는 도형을 그렸다. 굽어있는 도형이다. 그래서 각기둥이 될 수 없다. 평행도 아니고 기둥 모양도 아니기 때문이다.

한 아이가 칠판에 그려진 도형만 보고 답을 했다. 교과서를 보고 답을 하라고 했는데 그림을 다 그리지 못하고 대표로 오각뿔을 그렸더니 칠판에 있는 것만 보고 답을 했다. 맞긴 한데 교과서를 보면 다각형이다. 앉은 아이들이 보고 말해둔다. 드러난다. 이상하다고 여기면서 짚어주었다. 칠판만 보고하는 쓴 결과이다. 교과서와 함께 봐야하는데 제대로 챙기지 못한 것 같다. 덜렁댄다고 여겨지는 아이가 여기서 드러난다. 드러나더라도 꾸중할 필요 없다. 오히려 이런 상황이 개념을 뚜렷이 짚을 수 있는 자극이 된다. 답 쓰고 나서 맞는지 판단할 수 있는 시간도 된다. 그래서 답 쓰는 아이들을 조금 긴장하고 집중력도 더 한다. 부담감은 주지 않도록 한다.

‘각뿔의 꼭지점’을 이라고 쓰면서

“이렇게 쓰는 게 맞나?”

“…….”

갑자기 던진 질문. 애매하다. 몇몇 아이가 교과서를 뒤진다. 사실 내가 더 낯설다. ‘꼭짓점’이다. 사이 시옷이어야 한다. 사이시옷을 넣지 않고 답하는 것이 기억나서 한 번 짚어 주려고 던진 질문이다.

남은 시간에 부록에 나오는 각기둥과 각뿔 전개도를 떼어내서 만들어 보기를 했다. 입체 모양을 풀로 붙여서 완성은 하지 않도록 한다.

접어서 만들어 보고 다시 펼쳐서 공책에 붙이게 한다. 붙여서 완성해 버리고나서는 쓰레기통이나 구석구석 버려진다. 그래서 끼워 맞춰 해보기까지 하고 펼쳐서 공책에 붙인다. 다음 차시에도 재활용할 수 있다.

이런 조작 활동할 때는 필요 없는 종이와 결과물 처리 고민도 생긴다. 종이 쓰레기를 바로 버릴 수 있게 종이 상자를 준비한다. 결과물 완성 상태를 그대로 둘 것인가, 보관할 것인가, 다른 형태로 재활용할 것인가를 두 번 세 번 생각한다. 이 도형 단원에서는 입체도형을 굳이 풀로 붙여서 완성해 두지 않아도 된다. 그래서 펼쳐서 공책에 붙인다. 완성 뒤 처리 문제도 고민거리다. 버리기에는 아깝고 모아 두기에는 어중간하고……. 되도록 재활용할 수 있도록 모아두는 방법을 생각한다. 공책에 붙이는 것이 가장 좋고, 다음에는 교실에 전시해 둔다. 전해두더라도 일정 기간을 정해둔다.

학습 전 준비와 학습 뒤 처리 문제도 아이들 학습 과정이다. 학교에서 학급에서 수업은 이런 부분까지 종합적으로 이루어진다. 학원과 결코 같을 수 없다. 공부와 학습의 범위가 넓다. 삶의 공부다. 우리는 학급에서 살아간다.

[412] 2014.4.1.

수학,  각기둥의 조건

앞 시간 여러 가지 문제 풀이를 교과서에 그대로 풀어서 내게 했다. 바로 시험지 매기듯이 매겼다. 한 문제당 1분씩, 20분 시간을 주었다. 그 시간에 못 푼 것은 못 푸는 문제로 한다.

이렇게 책을 거둬 매기면 아이들이 무엇을 많이 틀리는 것이 한 눈에 들어온다. 매 차시 열심히 가르쳤다고 생각하지만 복습하지 않으면 며칠 뒤 또 잊어버린다. 그래서 단원이 마칠 즘이면 교과서에서도 여러 가지 문제가 나온다. 형성평가를 할 수 있다. 많이 틀리는 문제만 골라 다시 푼다.

대부분이 서술 문제다. 수학 계산이나 개념보다는 문제를 해석하는 힘이 모라자라서 어려움을 겪는다. 식을 세우는 대부분은 수학문제는 결국 국어 문제이기도 하다.

앞 시간 못 했던 것을 점검할 동안 아이들은 입체 도형에 대한 문제를 익힘 책부터 풀게 했다. 준비학습을 풀고 입체 도형에 대한 문제를 먼저 풀게 했다. 선수학습이나 직감으로도 대충 어느 정도 문제 해결이 된다.

다 매겨주고 교과서를 돌려주었다.

이제 교과서로 입체도형에 대한 공부를 차근차근 풀어 보았다.

한 문제씩 풀다가 칠판에 빈자리에 아래 위 밑면이 평행이 입체 도형을 그렸다.

“이 도형은 아래 위 면이 평행합니까?”

“아니요!”

“그래? 다시 물어볼게요. 아래 위 면이 평행합니까?”

“아니요!”

당당하게 큰소리로 모두 이야기한다.

‘오개념 찾았다!’

아이들 머릿속에는 이미 ‘각기둥에 아니다’것에 초점을 지니고 있는 듯하다.

각기둥이 아니까 평행도 아니라고 쉽게 여겼나보다. 서너 번 쯤 물어보고 나서야 내가 무슨 질문을 하는지 들린 모양이다.

“아래 위 면이 평행합니까?”

“예.”

“그럼, 아래 위 면이 합동입니까?”

“아아, 아니요!”

그래 합동이 아닌 것을 평행도 아닌 것으로 착각했다. 미리 공부했지만 결과를 정해두고 생각하니 오개념을 순간 든 모양이다.

평행과 합동의 의미를 뚜렷하게 시키고 나서, 기둥 모양인 것은 각기둥이 된다. 밑면 원모양이면 원기둥이다.

두 아이를 시켜서 평행과 합동이 있는 도형을 그려보라고 했다. 사각 기둥만 그렸다. 시간이 없어서 이것으로 끝냈지만 여유가 있다면 몇 명 더 나오게 해서 사각 기둥 말고 다른 기둥을 그려보라고 했을 것이다. 그러면 교과서에 나오는 기둥들이 다 나왔을 것이다. 그리면서 머릿속에 생각해 두어야할 기준은 평행하고 합동이어야 한다는 것이다. 여기에 기둥 모양이다.(밑면과 수직인 높이를 그려야한다는 사실)

이렇게 그리게 한 까닭은 보이는 선과 보이지 않는 것을 실선과 점선으로 구분하는지 알아보려는 뜻이다. 제대로 그려 냈다. 잘 그린 말은 아니다. 남들이 봐서 제대로 성질이 잘 드러나도록 그리면 된다.

머릿속으로만 알고 있고 ‘안다’고 할 수 없다. 남이 보도록 드러내야 한다. 직접 그리고 말하고 표현해야 한다. 수학도 더 그렇다. 답 맞다고 계산 과정이 다 맞는 게 아니다. 계산 과정은 남 설득 과정인 셈이다. 과정에 대한 논리적인 설명으로 설득이 잘 되듯 수학에서는 체계적인 풀이 과정이 설득인 셈이다. 답보다 과정 기록과 설명이 중요하다. 계산 과정을 공책에 체계 있게 쓰고 정리하는 습관도 함께 길러준다.