땀샘 학급살이 이야기

[484] 2014.5.15

수학, 원의 넓이 익힘책과 문제 해결 문제

1. 큰 원에서 작은 빼기 문제

지료를 만들었다. 원 안에 두 원이 때어져 나오도록 만들었다. 개념 형성이 아직 늦거나 도형을 머릿속으로 떠올리기 힘든 아이가 있기 때문에 입체적으로 드러나게 만들었다.

1번에서 3번 문제는 공식만 갖다 넣기만 하면 풀어지는 문제다. 익힘책에서 아이들이 혼란스러울 것만 함께 풀어보도록 했다.

흰 원을 떼어 내어 붙이고 분홍 큰 원은 따로 준비해서 붙였다. 나머지 분홍빛 넓이를 떼어 내어서 모양 식으로 구성했다. 한눈에 드러난다.

문제 푸는 방법을 머릿속에 뚜렷하게 그려져야 계산식으로 나타내어진다. 이 과정을 위해 자료를 만든 것이다.

각 도형 밑 그 동안의 넓이를 구하는 식을 쓴다. 두 아이를 시켰다. 자연스럽게 전체 식이 된다.

2. 둘레와 넓이 구하기

6번 문제는 교과서에서는 넓이를 먼저 구하도록 나온다. 둘레는 다음 차례다. 나는 거꾸로 했다. 아이들이 그림만 보고 당연히 넓이 계산이라고 여기며 자꾸 착각을 하기 때문이다. 무엇을 물어보는지를 새겨 보고 들으라는 뜻이다. 넓이보다 둘레 구하기가 까다롭다. 잘못 생각하면 원 하나의 둘레만 계산해 버리기도 한다. 둘레는 사각형 둘레와 원 둘레의 합이 된다. 넓이가 아니다. 둘레를 계산하고 나서 넓이를 구한다. 넓이는 그래서 더 쉽다. 

둘레에 썼던 원을 다시 붙여 놓고 넓이를 구하게 했다. 한 사람이 나와서 정사각형 안에 네 조각을 떼어내 하나의 원을 만든다. 하나의 원 넓이가 된다.

둘레를 먼저 계산하고 나니까 넓이는 더 쉽다. 이 문제는 둘레와 넓이를 잘 구분해서 생각해야 한다.

3. 넓은 차례대로 정하기

이 문제는 두 가지 방법이 나온다. 모두가 넓이로 바꾸거나, 식을 세워서 반지름을 알아보는 법이다. 처음에는 넓이로 다 구해보려고 했는데 식을 써다보니까 자연스럽게 모두 식으로 바뀌었다. 식에서 모두 원주율이 나오니까 이것을 뺀 나머지 숫자인 반지름을 견주면 금방 나온다.

4. 문제 해결 문제

문제해결 문제에는 큰 원에 초록 원 두 개와 주황 원 다섯 개가 나온다. 주황 원 다섯 개의 원주의 길이가 큰 원의 원주와 같다. 두 초록 원의 원주의 합이 큰 원주의 길이와 같다. 원이 둘레로 알아보는 문제다.

이것을 증명하는 방법으로 식을 쓰면서 풀었다. 각 항마다 같은 수(원주)가 곱해진다. 여기서 곱해지는 수는 그대로 두고 더하거나 빼기를 먼저하고 곱하면 빠르기다. 그런 과정도 덤으로 알려주었다.

 수학82쪽_탐구활동_수학익힘87쪽,88쪽.hwp

[484] 2014.5.15

수학, 원의 넓이 익힘책과 문제 해결 문제

1. 큰 원에서 작은 빼기 문제

지료를 만들었다. 원 안에 두 원이 때어져 나오도록 만들었다. 개념 형성이 아직 늦거나 도형을 머릿속으로 떠올리기 힘든 아이가 있기 때문에 입체적으로 드러나게 만들었다.

1번에서 3번 문제는 공식만 갖다 넣기만 하면 풀어지는 문제다. 익힘책에서 아이들이 혼란스러울 것만 함께 풀어보도록 했다.

흰 원을 떼어 내어 붙이고 분홍 큰 원은 따로 준비해서 붙였다. 나머지 분홍빛 넓이를 떼어 내어서 모양 식으로 구성했다. 한눈에 드러난다.

문제 푸는 방법을 머릿속에 뚜렷하게 그려져야 계산식으로 나타내어진다. 이 과정을 위해 자료를 만든 것이다.

각 도형 밑 그 동안의 넓이를 구하는 식을 쓴다. 두 아이를 시켰다. 자연스럽게 전체 식이 된다.

2. 둘레와 넓이 구하기

6번 문제는 교과서에서는 넓이를 먼저 구하도록 나온다. 둘레는 다음 차례다. 나는 거꾸로 했다. 아이들이 그림만 보고 당연히 넓이 계산이라고 여기며 자꾸 착각을 하기 때문이다. 무엇을 물어보는지를 새겨 보고 들으라는 뜻이다. 넓이보다 둘레 구하기가 까다롭다. 잘못 생각하면 원 하나의 둘레만 계산해 버리기도 한다. 둘레는 사각형 둘레와 원 둘레의 합이 된다. 넓이가 아니다. 둘레를 계산하고 나서 넓이를 구한다. 넓이는 그래서 더 쉽다. 

둘레에 썼던 원을 다시 붙여 놓고 넓이를 구하게 했다. 한 사람이 나와서 정사각형 안에 네 조각을 떼어내 하나의 원을 만든다. 하나의 원 넓이가 된다.

둘레를 먼저 계산하고 나니까 넓이는 더 쉽다. 이 문제는 둘레와 넓이를 잘 구분해서 생각해야 한다.

3. 넓은 차례대로 정하기

이 문제는 두 가지 방법이 나온다. 모두가 넓이로 바꾸거나, 식을 세워서 반지름을 알아보는 법이다. 처음에는 넓이로 다 구해보려고 했는데 식을 써다보니까 자연스럽게 모두 식으로 바뀌었다. 식에서 모두 원주율이 나오니까 이것을 뺀 나머지 숫자인 반지름을 견주면 금방 나온다.

4. 문제 해결 문제

문제해결 문제에는 큰 원에 초록 원 두 개와 주황 원 다섯 개가 나온다. 주황 원 다섯 개의 원주의 길이가 큰 원의 원주와 같다. 두 초록 원의 원주의 합이 큰 원주의 길이와 같다. 원이 둘레로 알아보는 문제다.

이것을 증명하는 방법으로 식을 쓰면서 풀었다. 각 항마다 같은 수(원주)가 곱해진다. 여기서 곱해지는 수는 그대로 두고 더하거나 빼기를 먼저하고 곱하면 빠르기다. 그런 과정도 덤으로 알려주었다.

수학82쪽_탐구활동_수학익힘87쪽,88쪽.hwp

[481] 2014.5.13.

수학, 원의 넓이 여러 가지 문제를 풀어 봅시다.

단원 정리 여러 가지 문제를 풀어본다. 여러 가지 문제도 여러 방법으로 풀어본다. 먼저 개인별로 풀 시간을 10-15분 정도 준다.

1. 교과서를 읽어가면서 답하기

1번과 3번 문제는 네모 칸 채우기 형식이다. 이런 문제는 한두 아이가 읽어가면서 답하게 하고 모두 함께 따라 읽어가면서 서너 번 반복해서 읽는다. 2번 문제도 네모 칸에 숫자는 넣는 것이다. 문제를 읽어가면서 답하도록 한다. 빨리 넘어간다.

2. 나와서 식 쓰기

4번 같은 문제를 세 아이를 시킨다. 식만 쓰게 한다. 답을 모두에게 말을 하게 해서 내가 직접 써준다. 모두 함께 맞는지 동그라미 치면서 확인해 나간다. 이 때 틀리다고 하면 틀린 아이에게 한 번 더 기회를 주고, 그래도 틀리면 다른 친구에게 고칠 기회를 주어서 맞을 때까지 반복한다. 틀린 것은 지우지 않고 그대로 두고 푼다.

3. 함께 풀기 

5번과 6번 응용문제에 아이들 차이가 드러난다. 제대로 이해 못하거나 아예 손도 못 대는 아이가 보인다. 이 문제는 시간을 보고 결정한다. 시간이 넉넉하면 몇몇 아이를 나오게 해서 풀도록 하지만 시간이 모자라면 묻고 답하면서 풀이 과정을 적어간다.

5번 문제는 먼저

“이 문제를 어떻게 풀지? 어떤 방법으로 풀어야할까?”

잠시 기다리면 푸는 방법을 적절하게 말하는 아이가 있다. 식을 말하는 게 아니다. 식은 함께 세우면 된다. 둘레를 구해서(한 바퀴 돈 길이) 전체 길이를 나누면 몇 바퀴가 돌았는지 알 수 있다.

6번은 문제를 둘레와 넓이를 구하는 문제다. 구해야 할 둘레를 그림으로 그려 그렸다. 그냥 말이나 손으로만 지시하면 잘 떠오르지 않으니까 분리해서 그렸다.

하나씩 어떻게 구하는 지 아이 몇몇에게 물어가면서 답을 구한다. 이때 실력 낮은 아이와 중간 아이 위주로 시키고, 최종적 전체 식은 잘하는 아이가 말하게 한다.

다 정리되면 이제 공책에 쓴다. 복습하는 셈이다. 책에 바로 쓰기도 하는데 5번, 6번은 되도록 공책에 그 풀이 과정을 꼭 쓰게 한다. 별표를 붙인 것은 이런 문제가 시험에 꼭 나온다고 일러준 것이다. 실제 이런 응용문제가 많이 나온다.

81쪽_문제를_풀어봅시다에_원.hwp

[381] 2014.3.18.

수학 단원 평가, 오답 공책 만들기

   수학 한 단원 마쳤다. 분수의 나눗셈이다. 오늘은 정리하는 시간 겸 오답 공책 만드는 법도 함께 익혔다. 집에서도 할 수 있다. 문제 풀고 틀린 것만 모은다.

올해는 따로 오답공책을 안 만들고 수학 공책에 바로 한다. 지금까지 쓴 부분에서 한 쪽 여백이 남아서 무조건 새 쪽부터 시작한다.

문제를 풀 때는 시간을 정한다. 한 문제에 일이 분 정도 되게 한다. 그 시간 안에 못 풀면 알고 있어도 못 푼 걸로 친다. 헷갈리거나 찍은 문제도 틀린 문제로 친다.

틀린 문제는 아무 표시 않고 오려서 공책에 붙인다. 다 맞은 사람은 다 맞아도 시간이 좀 걸린 문제 한 가지 골라 붙인다.

문제 따로 답지 따로 붙인다. 공책이 아까워 문제 바로 밑에 붙인다면 답이 안 보이도록 뒤집어서 붙이도록 한다. 우리 반에 복습 도장이 있다. 작년부터 써왔는데 몇 달 묵힌 것을 꺼냈다.

틀린 문제 옆에 복습도장을 찍어 주었다. 다음부터는 스스로 찍게 할 것이다. 오늘 틀린 것을 한 시간 뒤 다시 풀고(학교서 못 풀면 집에서) 다음 말 다시 또 풀고, 삼일 또는 일주일 뒤 또 풀고, 한 달 뒤(시험 기간)에 또 풀도록 한다. 주기적으로 반복해서 풀면서 문제가 눈에 몸에 익도록 한다.

이 과정을 ‘참나 공책’에 쓴다. 스스로 공부 방법을 또 한 가지 익힌다.

공부도 습관이다. 꾸준히 반복해야 습관이 된다. 몸에 스며들도록 한다. 한꺼번에 외워버리고 가만있으면 한꺼번에 잊어버린다. 천천히 되새김질하면서 해야 언제든지 떠올릴 수 있다.

조금 꾸준히 재미있게 해야 한다.