땀샘 학급살이 이야기

[405] 2014.3.27.

수학, 반올림하여 몫 구하기

나 나름의 수학 수업 흐름이 있다.

가장 먼저 칠판에 활동 문제를 적어 놓는다. 적을 동안 아이들도 공책에 쓰지만 교과서를 보지 않도록 한다. 다 쓰고 활동 문제를 아이들과 함께 이야기 하며 푼다. 보통 활동 문제는 두서너 가지다.

몇몇 아이에게 나와서 풀어보게 하게 하거나 그냥 내가 풀기도 한다. 이때 앉은 아이들은 쓰지 않도록 한다. 푸는 과정을 보도록 집중도를 높인다. 눈으로 익힌다는 표현이 어울릴 것이다. 대부분 아이들이 문제를 푼다. 간혹 식이나 답을 틀리게 쓰는 아이가 나오기도 한다. 그런 아이가 나와 준다면 고맙다. 왜 틀렸는지 고쳐가면서 설명할 수 있으니까.

거의 교과서대로 설명하는 방법과 같다. 이미 선수학습으로 아는 아이도 있다. 그래도 막상 시켜보면 뚜렷하고 알지 못하기도 한다. 알든 모르든 칠판과 나에 집중하도록 이끈다. 길어봤다 15분 넘지 않는다. 이게 끝나면 교과서를 보고 푼다.

한 번 들었던 이야기를 교과서에서 다시 푸는 셈이다. 두 번 푸는 셈이다.

오늘도 교과서 활동을 두 가지를 함께 이야기 했다. 사각형의 넓이와 세로가 주어졌을 때 가로의 길이를 구하는 문제다. 식을 써보게 시켰다.

두 번째 활동으로 소수점 뒤로 계속 이어지는 수를 어디에서 끊을 것인지 이야기했다.

너무 기니까 몇 번째에서 끊을까?

4.173은 4.17에 가깝나, 4.18에 가깝나?/ 4.17!

4.176은 4.17에 가깝나, 4.18에 가깝나?/ 4.18!

4.175는 4.17에 가깝나, 4.18에 가깝나?/ 4.18 쪽으로 넣자(정의 약속→ 반올림)

왜 반올림이 필요한지? 애매하게 중간에 걸리는 수(5)는 어디 쪽으로 넣을 것인지 정한다.

그래서 소수 첫째 자리를 구하라고 하면 둘째 자리를 보고 판단해야 한다는 사실을 안다. 아이들이 이미 다 알고 있기도 하지만 한번 정확한 개념을 되새겨준다.

이제 아이들은 교과서 문제와 익힘책을 스스로 풀어간다. 푸는 동안 돌아다니면서 아이들 곁을 돌아다닌다. 머리를 쓰다듬어 주거나 어깨를 토닥거려 주기도 한다. 다리 꼬는 아이, 둘레가 지저분한 아이, 책상이 어수선한 아이에게 바른 자세, 정리정돈 지도도 함께 이루어진다.

무엇보다 어떤 오개념을 지니고 있는 찾는 게 중요하다. 실수로 잘못 쓴 부분, 숫자를 날려서 써서 제대로 볼 수 없는 것도 짚어준다.

아이들 곁에 붙어서 푸는 과정을 살핀다. 자주 틀리거나 애매해하는 부분을 보인다. 이런 문제를 표시해 둔다. 어느 정도 풀었다 싶으면 칠판에 써서 다함께 푼다.

오늘은 몫에서 소수 자리에서 0이 나오는 부분에 헷갈려하는 아이가 있어서 모두 멈추게 해서 함께 풀었다.

위에서 빌려와도 나눌 수 없어서 또 한 번 더 빌려올 때 몫에 0을 붙여야 한다. 이런 과정을 잊은 아이가 있어서다. 쉬울 것 같은데 자주 이런 경우가 없어서 헷갈렸나보다.

이번 차시는 반올림하여 몫 구하기지만 뜻밖에 기초적인 풀이에 막힐 때가 있다. 그래서 아이들 곁에 다가가 푸는 과정을 하나하나 살핀다. 아이 키 높이만큼 꿇어앉아서 하나씩 살펴본다. 단순한 실수와 헷갈리는 실수는 구분된다. 개념 이해가 느리거나 뚜렷하지 않아서 늦을 수도 있다. 여러 실수 유형을 찾아내는 힘도 필요하다.

[396] 2014. 3. 25.

수학, 소수의 나눗셈에서 나머지 알아보기

1. 소수의 나눗셈으로 똑같이 들어내는 나눗셈

“11.5에서 1.6을 몇 번 뺄 수 있지?”

칠판에 11.5에서 1.6을 한 번씩 한 번씩 빼나갔다. 모두 일곱을 뺐다. 몫이 된다. 나머지는 0.3이이다.

2. 자연수의 나눗셈으로 똑같이 들어내는 나눗셈

“115에서 16을 몇 번 뺄 수 있지?”

이것도 칠판에 115를 쓰고 16을 한 번씩 빼나갔다. 모두 일곱 번이다. 몫이다. 나머지는 3이다.

1,2과정에서 빼는 횟수(몫)은 다 같다. 나머지가 다르다. 소수의 나눗셈과 자연수의 나눗셈으로 똑같이 들어내는 방법에서 나머지가 이렇게 차이가 난다. 이것을 살피는 공부다.

11.5÷1.6= □…□과 115÷16= □…□라고 쓴 교과서 식에서는 아이들이 그냥 필산으로 계산하거나 암산으로 끼워 맞추기식으로 채워 넣기만 해서 하나하나 빼는 과정을 따로 썼다.

3. 소수점을 옮겨 필산으로 계산하는 방법

몫에 붙이는 소수점과 나머지에 붙이는 소수점 위치를 잘 챙겨야 한다. 마지막 나머지에서 곱하고 빼기를 하면서 자연수 그대로 두는 경우가 있다. 소수점을 원래 위치에서 내려오도록 해서 찍어주는 것을 잊지 않도록 돌아가면서 살펴주었다. 

몇몇 아이를 시켜서 지금까지 이야기 나누었던 과정을 다시 설명하도록 시켰다. 실제로 듣는 것과 말해보는 것은 다르다. 꼭 한둘 정도는 내가 설명한 과정을 나와서 시킨다. 어떻게 들었는지 확인하는 일이기도 하다.

[390] 2014.3.21.

수학, 자릿수가 다른 소수의 나눗셈

소수의 나눗셈 활동1과 활동2의 교과서 내용을 그대로 칠판에 옮겨 놓았다.

수학 수업은 오늘 공부할 활동 내용을 그대로 미리 써놓는다. 아이들이 이미 선행이 되었거나 아는 눈치면 몇몇 아이를 시켜서 칠판에 나와 쓰게 한다. 이때 앉은 아이들은 쓰면 안 된다. 그냥 보고만 있어야 한다. 나와 함께 이야기를 주고받고나 서 교과서나 공책에 푼다. 한 번은 보고 눈으로 풀고, 공책에 쓸 때는 손으로 푸는 셈이다. 두 번 되풀이하는 셈이다.

그래서 친구가 칠판에 풀고 있거나 내 설명 때는 받아쓰지 못하게 한다. 잘 듣는 자세 집중하는 몸가짐이 되게 한다. 교과서 문제를 다 풀고 나면 짝끼리 비교해보고, 수학 익힘책을 푼다. 내 수학 수업이 일반적인 전체 흐름이다.

오늘도 두 아이를 시켰다. 똑같은 문제다. 푸는 방법이 조금 다를 뿐이다. 그런데 답이 다르게 나왔다.

“여러분 여기 답이 다르게 나왔네요. 맞아요?”

“네!”

“답이 다 다른 게 맞다고요?”

“네에!”

당연히 아닌데 모두가 답이 다른 것이 당연하다는 듯 말했다. 이게 무슨 일이지?

“아니, 문제가 똑같은데 답이 다르다고?”

“음, 소수점이 찍은 것(푸는 과정)이 다르잖아요.”

푸는 과정이 다르니까 당연히 답도 다르다고 여기는 모양이다.

옳거니 잘 걸렸다. 오해를 하는 부분(오개념)을 나왔다. 푸는 방법이 다르면 답도 다르다는 오개념을 지니고 있었구나.

“그럼, 오늘 이게 정말 둘 다 답이 맞는지 해결보자.”

이렇게 말하자 몇몇 아이들이 이제 눈치를 챈 것인지 검산을 한 것인지

“밑에 것인 틀렸어!”

라고 말한다.

세로 셈으로 풀어보면서 결국 틀린 답을 찾았다. 머릿속 대충 셈과 다르다. 끝까지 확인 않고 짐작으로 끼워 맞추기식 계산도 오류를 만든다.

오늘 나온 오개념이 반갑고 고맙다. 이런 부분이 있어서 수학 시간이 재미있다. 어디에서 잘못 생각했는지, 헷갈렸는지 탐색하고, 찾아 해결하는 기쁨을 맛볼 수 있다. 무엇인가 잃어버린 물건을 찾은 보람 같기도 하다.

문제를 많이 푸는 것보다 한 문제라도 제대로 끝까지 얽힌 매듭을 푸는 게 중요하다. 한 매듭만 잘 풀어도 다 풀리는 게 많다.

이 두 문제의 비교 증명으로 15-20정도 걸렸다. 이제 교과서를 보고 공책에 쓴다. 네모 빈칸은 교과서에 쓰고 익히기 문제는 공책에 써서 푼다. 그대로 베끼기보다 스스로 다시 풀어본다는 마음으로 쓴다. 수학 익힘책 문제도 이어서 푼다.

보통 수학 익힘책까지 풀기에는 빠듯하다. 오늘은 수학 익힘책을 풀고도 시간이 남는 애들이 많았다. 이럴 때는 앞 차시 못 푼 문제를 풀도록 한다.