땀샘 학급살이 이야기

[444] 2014. 4. 17

수학, 쌓기 나무 쌓은 모양 규칙 찾기

1. 쌓기 나무 규칙 알아보기

쌓기 나무를 쌓은 모양 말하기, 규칙 찾기는 수학적인 관점으로 말하기라는 표현이 어울린다. 국어 시간에 배운 관점, 미술 시간 감상 관점이 다 한 가지 맥을 이루는 것 같다.어떤 사건이나 사물, 모양을 보고 설명이 잘 되지 않는다는 것은 말하는 기준이 뚜렷하기 않기 때문일 것이다. 살면서 수많은 것을 보고 듣는다. 보이고 들리는 것인지, 보고 듣는 것인지는 관점과 기준을 있느냐에 차이가 난다. 관점과 기준이 서고 재미와 흥미가 붙으면 몰입과 집중, 보람, 도전, 지속 가능할 가능성이 높아진다.

이번 시간은 사물을 보고 뚜렷하게 말할 수 있도록 하는데 있다. 거꾸로 말을 듣고 다시 그 모양을 만들 수 있어야 한다. 자세히 말하기 뚜렷하게 말하기, 선명하게 머릿속에 이미지가 그려지도록 말하기다. 먼저 교과서에 쌓기 나무 첫 번째 모양을 함께 이야기해본다.

2. 모둠별로 써보기

교과서 익히기 문제는 모둠에서 해본다. 어떤 문제점이 나올까하는 기대를 한다. 완벽하게 맞추기보다 아이들이 빠뜨리는 부분, 애매하게 판단하는 부분을 찾아보는 진단 학습인 셈이다.

3. 발표해서 알아보기

시간을 그렇게 많이 주지 않고 3분 정도 준다. 서로 의논해서 어떻게 말하는 것이 모양을 설명하는 뚜렷한 글이 되는가에 초점을 맞춘다.

아이들이 쓴 말을 다 함께 일어가면서 특이한 말을 줄을 그어가면서 되새긴다. 모두가‘엇갈리게’라는 말을 썼다. ‘계단식’이라는 말도 나온다. 이런 말들 찾기가 쉽지 않다. 이번 차시는 국어에서 말하는 비유법(직유법)요소가 나오게 된다. 방향과 개수도 나온다.

한 모둠씩 문장을 보면서 쓴 말 그대로 하면 다른 모양이 될 수 있는 것을 짚어준다. 그래서 어떤 문장이나 낱말을 덧붙이면 좋을지 말해준다.

계단식 모양 쌓기 나무에서는 세 모둠이 조금은 부정확한 표현을 했다. 몇 층까지 쌓인 것인지 말하지 않아서 높이를 가능할 수 없다는 것이다. 이 부분을 놓쳐서 짚어주었다.

4. 말하기 기준 찾아보기

두 번째 모양은 좀 복잡하다. 무슨 모양인지 말로 표현하기 까다로워진다.

교과서에는 피라미드 모양의 쌓기 나무가 4충으로 이루어져 있다.

이 모양을 하면서 규칙을 말할 때의 기준이 보인다. 올해는 이 기준 말을 만들었다.

1)방향: 위로 올라가면서, 아래로 내려오면서

2)변화: 엇갈리게, 무슨 모양으로, 가장자리에, 모서리에

3)개수: 몇 개씩, 몇 줄씩

4)양: 줄어든다. 늘어난다.

이 같은 말로 분류 기준에 따라 나눌 수 있다. 이 분류 기준 보였다. 국어 시간 분류 기준에 따라 대상을 나누기를 한 공부가 여기에서도 쓰인다. 말의 종류의 분류다. 이 기준에 따라 말하면 자연스럽게 문장으로 쉽게 말할 수 있다.

5. 모둠별로 쌓기 규칙 알아보기

말하기 기준에 쓰인 예시 말을 카드를 모둠별로 주었다. 교과서 익히기에 나오는 두 가지 도형은 또 모둠에서 해결한다. 함께 토의하면서 알맞은 말을 찾는다.

6. 모둠별 의견 모으기

칠판에 두 쌓기 나무 모양을 붙이고 모둠 의견을 쓸 자리를 만들어 두었다.

모둠에서 정리한 문장을 나와서 다 쓰도록 한다.

7. 의견 확인 점검하고 정리하기(오개념, 빠진 것 찾기)

이제 아이들이 쓴 말을 점검할 시간이다. 한 문장씩 분석한다. 모두 큰 소리로 읽고 정확인지 묻는다. 이 문장이 다른 모양으로도 만들어 질 수 있지 찾아본다. 두 모양 다 아이들이 빠뜨리는 것이 있다. 그냥 두면 무한정 높이가 늘어날 수 있다.

‘올라갈수록 한 줄씩 줄어든다.’

‘내려갈수록 한 줄씩 늘어든다.’

이 문장은 같은 뜻이다. 그런데 이게 높이를 알 수 없다. 몇 층인지를 밝히지 않아서이다. 우리 반 아이들이 많이 빠뜨리는 부분이다.

몇 층인가를 밝히고 말해야한다. 말하기 기준에 몇 층인가를 넣지 않아서 그런가 보다.이 부분을 보충해서 만들어 두어야겠다.

옆 반에서 이 수업할 때는 빠뜨리지 마세요.^^

[440] 2014.4.15

수학, 쌓기 나무로 만든 입체도형을 보고 쌓기 나무 개수 구하기(2)

오늘 쌓기 나무를 개수 구하기는 헤아리는 방법이다. 두 가지 방법이 있다. 밑면 바탕 칸에 맞게 자리별로 헤아리는 것과 층별로 헤아린다.

자리별, 층별로 색분필로 구분해서 크게 표시해 주었다.

한쪽은 자리별로 헤아리고, 한쪽은 층별로 헤아려 보면 된다. 비교적 쉽게 처리하지만 성질 급한 아이 몇몇은 한두 개 씩 빠뜨리며 헤아리기도 한다. 책상 둘레를 지나가면서 챙겨 봐준다.

“다 했으면 짝과 함께 비교해 봐. 서로 개수가 다르면 둘 중 한 사람이 틀렸겠지?”

수학 익힘책에 ‘쌓기 나무 개수는 ( )별 또는 ( )별로 쌓인 쌓기 나무의 개수를 더해서 구합니다.’라는 문제가 나온다. 층별은 쉽게 말을 하는데 자리별이란 말이 잘 나오지 않고 애매모호해 했다. 바로 말하기에 앞서 어떤 말을 쓸 것인 생각해보라고 시간을 주고 ‘자리’별이라고 설명했다. 밑면 바탕 그림 칸마다 자리가 있다. 그 자리별 위로 쌓인 개수를 말한다.

[438] 2014. 4. 14

수학, 쌓기 나무로 만든 입체 도형을 보고 쌓기 나무 개수 구하기

   쌓기 나무로 만든 입체 도형을 보고 쌓기 나무 개수를 찾는 공부다. 쉬울 것 같지만 방심해서 실수하는 부분이기도 하다. 일단 눈으로 개수를 세기 쉬워 보인다.

개수 세기가 무슨 ‘수학’이 될까? 여기에 ‘수학’적인 조건을 만들어야 한다. 수학은 정확하게 정해준다. 정의 한다. 약속한다. 개수를 정확히 하는 약속이 있어야 한다. 그 약속을 글자나 기호, 모양으로 표시한다. 그 공부다.

1. TV 화면에 보이는 쌓기 나무로 만든 입체 도형의 쌓기 나무 개수는?

이번 차시는 실물화상기 사용이 제격이다. 쌓기 나무로 입체 도형을 하나 만들었다. 카메라로 보아 알 수 있는 개수는 14개다. 카메라에 보이지 않는 뒤 부분에 7개를 숨겼다. 카메라에 비친 입체도형이 텔레비전 모니터에 나온다. 이 모니터를 보고 이야기한다.

2. 숨은 쌓기 나무 몇 개인가?

“여러분이 보는 이 (쌓기 나무로 만든) 입체 도형의 쌓기 나무는 모두 몇 개지?”

첫 번째 질문이다. 당연히 14개다. 대부분이 14개에 손을 든다.

“14개 아니라고 하는 사람은?”

“15개요, 18개쯤?”

“눈으로 본 거예요? 더 있을 거라 짐작할 거예요?”

“짐작한 거요!”

“저는 뒤에 조금 보이는데요?”

“선생님이 텔레비전 모니터만 보고 하기로 했는데…….”

“짐작이 아니라 보이는 그대로 말하기입니다.”

앞서 텔레비전 모니터에 보이는 것만 말하기로 했다. 그런대로 한두 녀석이 뒤를 캐려는 시도가 나타난다. 입체도형 양 옆쪽으로 앉은 아이는 실물을 볼 수도 있다.

“선생님이 이 입체도형 뒤쪽에 몇 개 숨겨 두었어요. 몇 개일까?”

“한 개, 두 개, 네 개, 스무 개…….”

여러 개가 이어진다. 한 개씩 꺼낸 본다. 7개를 뺐다.

“최대 몇 개까지 숨길 수 있는지 더 숨겨 볼게.”

아이들은 텔레비전 모니터를 본다. 최대한 안 보이게 숨겼다. 9개를 넘기지 못했다. 이 카메라 각도에서는 최대한 9개까지만 넣을 수 있다. 그래서 이 입체도형은 14에서 23개 까지 쌓기 나무로 만들 수 있다. 정확한 개수를 알 수 없다.

정확한 개수로 꼽기 위해서는 어떻게 해야 하나?

여기서 수학의 필요성이 생긴다. 정확히 정해주는 역할을 그림으로 나타낸다.

밑에서 위로 본 모양을 아래쪽에 그려 놓는다. 만일 뒤쪽에 몇 개가 숨겨 있다면 밑 모양도 더 늘어날 것이다.

“선생님, 이것 이름이 뭐 예요?”

모른다. 지도안을 보아도 마땅한 이름이 없다. 그래서 아이들한테 물었다.

“우리가 정해보자. 선생님이 아직 이름을 찾지 못했어. 우리끼리 약속을 정해보자.”

“밑그림”

“밑바탕”

“밑면”

“다 ‘밑’이란 말이 들어가네. 밑면 바탕 그림?, 밑면 바탕, 아래 바닥 모양?”

“밑바탕 그림이라고 일단 정해두자.”

밑바탕 그림? 괜찮나?

이렇게 밑바탕 그림으로 그려 놓으면 뒤가 있는지 없는지 알 수 있다. 그래야 정확인 개수가 나온다. 정확한 수를 찾게 기호나 표시, 그림으로 나타낸 것이 ‘수학’적이다. 이런 약속 알고 표시 방법도 아는 게 이번 차시 공부다. 이제 밑바탕 그림의 각 칸마다 위로 쌓인 개수를 숫자로 넣으면 전체 개수를 쉽게 셈할 수 있다.

3. 직접 쌓아보기, 숨겨보기

짝 끼리 쌓기 나무를 가져가서 익힘 문제에 나오는 입체 도형을 만들어 보며 문제를 풀어본다.

선생님이 한 것처럼 자기들도 보이지 않는 부분에 숨겨 본다. 한 사람은 카메라가 되고, 한 사람은 숨기는 사람이 되어서 한다. 간단한 놀이가 되었다. 밑바탕 그림이 없으면 보는 각도에 따라 숨길 수 있는 개수가 차이가 난다. 불확실한 숫자가 된다. 확실한 숫자를 표시하기 위해서‘밑바탕 그림’을 그려 넣는다.

[432] 2014.4.10.

수학 3.각기둥의 각뿔 단원평가

“오늘은 3단원 마치는 시간이라 단원 평가 문제를 준비했습니다.”

3단원 각기둥과 각뿔 단원 평가를 치렀다.

E-교과서에서 보충, 확인, 심화 문제를 뽑았다. 스무 문제씩이다. 한 문제에 1분씩 주던 것을 이 단원에서는 반으로 줄여 20문제에 10분씩 주었다. 빠듯해 보이지만 충분히 해결해 나간다. 심화 문제에서는 5분 더 주었다.

보충, 확인, 심화 문제에 비슷한 유형 문제가 많다.

10분씩 풀고 거두고, 다음 학습지를 건넨다. 거둔 학습지는 바로 매겼다.

매겨 보면 어떤 문제, 어떤 아이가 많이 틀리는지 보인다. 그것을 찾는 게 1차 목표다.

매긴 시험지를 건네주면 어려운 부분, 헷갈리는 부분이 보인다. 나도 아이들도 함께 공부가 된다. 가려운 부분이기도 하다.

기둥을 뿔이라 하거나, 뿔을 기둥이라고 답하는 비율도 높다. 몰라서가 아니라 주의 깊게 질문과 내용을 잘 살피지 못해서 그랬을 것이다.

틀리는 까닭을 보면 내용을 아예 모르거나, 아는데 대충 읽고 짐작해 답하는 버릇일 수도 있다. 애매하고 까다로운 문제는 다시 풀면 되지만, 버릇 문제는 생활 측면에서 다루어야 한다.차분히 마음 다지기부터 다시 시작이다. 공부하는 내용을 중요하지만 공부하려는 마음도 그 밑바탕이 되어서 놓치지 않는다. 물건 정리 정돈만큼 마음도 천천히 기준을 잡아 보고 읽는 것이 필요하다. 학습 내용과 학습 마음을 함께 점검해 나간다.

많이 맞히는 것도 좋지만 잘 틀리는 것도 중요하다. 틀린 것을 그대로 덮어두지 않고 다음번에는 다시 틀리지 않겠다는 마음과 도전이 필요하다. 잘 틀려야 잘 맞힐 수 있다.

[425] 2014.4.7.

수학, 삼각뿔의 전개도 그리기

앞 시간에 각기둥의 전개 그리기를 해서 각뿔은 수월한 것 같지만 시간이 더 걸린다. 또 삼각형 때문이다. 각기둥에서는 한두 개만 그렸는데 각뿔은 네 개 이상 나온다. 부록에 있는 각뿔의 전개도를 떼서 접으면 금방 입체 모형이 나온다. 이것을 이번에 활용할 것이다. 먼저 각뿔의 전개를 그리기에 앞서 여려가지 모양의 전개도를 찾는 공부다. 각기둥과 다르게 각뿔은 그냥 머릿속으로만 잘 그려지지 않는다. 직접 손으로 만들어 보는 게 좋다.

그래서 각뿔의 전개를 다 잘라서 여러 가지 전개도 모양을 만들어 보았다. 칠판에 네 가지 모양을 만들도록 했다. 첫 번째 모양은 교과서 나오는 자주 그려지는 모양이다. 실물 화상기 위래 다른 각뿔의 전개도의 각 면으로 각뿔이 될 수 있는 전개 여러 가지 모양을 만들어 보았다.

한 가지 모양은 쉽게 만들어서 나머지 세 가지는 각자 만들어 그리도록 한다. 꼭 공책에 그려야 한다. 한 번 만들었다고 머릿속에 잘 그려지지 않는다. 애매하다. 움직이고 보고 그리는 활동으로 기억력을 높인다.

하나씩 완성해가면서 그 모양을 공책에 그리도록 한다. 모양이 중요하니까 정확한 길이에는 덜 신경을 쓰고 된다.

세 가지를 찾아 그리고, 이 가운데 두 가지를 골라 작도를 한다.

작도가 쉽지 않다. 삼각형을 네 개씩 그려야 한다. 다행히 6교시에 들어서 전개도를 익힘책까지 해야 집에 간다고 했다. 한 시간이 모자란다.

한 사람씩 꼼꼼히 검사했다. 입체도형이 만들어지지 않게 그리는 아이가 많다. 이가 맞지 않다. 서로 맞대어지는 부분 길이가 차이 난다. 각기둥 전개도 그리기보다 더 힘들다. 생각만 하면 안 된다. 공간 지각력이 필요하다.

다음은 접는 부분은 점선인데 실선이 많다는 것이다. 몰라서 그런 게 아니라 놓친다. 세 번째는 컴퍼스를 쓰지 않게 대충 길이를 맞춰서 내는 문제다. 아무리 깔끔해도 정확한 작도가 아닌 짐작으로 그린 것은 돌려보내 다시 하게 한다. 30분 정도 늦었지만 끝까지 챙겼다.

삼각형이 두 변이 만나는 부분에 점검한다. 실수가 많다. 대충 봐서는 맞을 듯한데 하나씩 자로 재어서 확인해주었다. 눈으로 확인된다. 인정한다. 그런데 어떻게 맞추어야할지 또 생각에 잠긴다. 또래끼리 도와주라고 했다.

길이를 맞춰놓고 점선을 안 해서 다시 하고 실선으로 바꾸었는데 옆면이 하나 모자란다. 한 가지 짚어주면 그것만 빨리 고쳐서 검사 받으려다 다른 게 나온다. 자로 긋지 않고 순간을 모면하려는 의도를 드러낸다. 빨리 끝내고 가려는 마음부터 다스려야 한다. 차분히 왜 틀린 것인지 알아야가지.^^

오늘 처음으로 늦게 까지 남겼다. 작도는 오늘 챙기지 않으면 초등학교 시절 다시 할 기회가 없다. 아니 평생 그릴 기회가 없을 것이다. 삼각형 그리기, 각뿔의 전개도다. 확실하게 짚고 가야 한다. 확실하게 그릴 줄 알아야 넘어간다. 다음 수학시간에도 제대로 하지 않고 그냥 넘기는 눈치를 주지 않기 위해서도 말이다.

[420] 2014.4.4.

수학, 각기둥의 전개도 그리기

각기둥의 전개도를 그려보기 때문에 자와 컴퍼스를 준비했다. 책에 바로 그린다.

1. 전개도 모양 그리기 [개인 발표 그리기] 사각 기둥, 삼각기둥

전개도 그리기에 앞서 여러가지 펼친 모양전 찾기부터 시작이다. 사각기둥과 삼각기둥이 먼저 나왔다. 두 아이를 시켜 서로 다른 전개도 모양을 그리게 했다. 곧잘 그렸다. 좀 더 다양한 모양으로 더 나오게 할 수 있겠지만 작도 시간이 걸려서 이 정도까지만 했다.

2. 자와 컴퍼스 학습 자료 준비

전개도 그리기에 자와 컴퍼스가 필요하다. 

자는 당연하고 컴퍼스는 삼각기둥 밑면인 삼각형 모양을 그릴 때 꼭 필요하다. 학년 자료로 준비되어 있어서 가져왔다.

3. 컴퍼스에 삼각형 밑면 그리기 안내

사각기둥 전개도는 눈금표에 대고 바로 그으면 된다. 

삼각기둥 전개도에서 밑면 삼각형은  컴퍼스가 필요하다. 자로 대충 그릴 수 없다. 아이들도 삼각형 작도는 지난 학년에 딱 한 번만해 보고 그 뒤로 그려본 적이 없다. 가물가물 그리는 모양이다. 그리는 방법을 다시 설명해주었다.

4. 작도하기와 살펴보기

이제 책에 바로 자와 컴퓨터로 그린다. 사각 기둥은 자로 하나로 금방 그린다. 모양은 칠판에도 있지만, 직감으로 바로 여러 가지 모양으로 바로 만든다.

5. 오개념 발견

삼각형 그리기에 문제가 드러났다. 몇몇이 삼각기둥 밑면과 옆면의 모양(길이)이 이상하다.

눈금 한 칸이 1cm이다. 삼각형 밑변이 6cm이면 6칸이다. 4cm와 3cm는 4칸, 3칸 된다. 그런데 컴퍼스를 안 쓰지 않고 자만으로 그려 놓은 게 보였다.

한 옆면 길이가 이상하다. 오려서 입체도형 만든다고 조금만 상상해도 고칠 수 있다.

6. 다시 작도 설명, 개념 형성

앞엣것 4cm와 3cm를 실수한 아이들처럼 그려 보았다. 하던 작도를 멈추고 보고 듣는다.

먼저 6cm를 그었다. 6칸이다. 쉽다. 

그 다음 4cm를 그리는데 밑변과 나란히 4칸을 표시, 3칸 위에 꼭짓점을 잡아서 그었다. 3칸은 높이가 된다. 여기까지 그리고 맞느냐고 물었더니 반쯤은 맞다는 눈치다. ‘틀렸다’는 말이 금방 나오지 않는다. 컴퍼스를 쓰지도 않았다. 모양도 안정적으로 보인다. 느낌상 맞다는 눈치다. 틀렸다. 사선 모양의 길이가 4칸과 3칸이 되어야 한다.

아래쪽에 다시 그렸다. 4칸과 3칸 길이를 컴퍼스로 재어서 두 원호를 그려 만나는 점을 정했다. 그 점을 밑변 양 끝점으로 이으면 정확한 4칸과 3칸 길이가 된다. 그래서 컴퍼스가 있어야 한다.

삼각기둥 전개도 그리기에서 삼각형 그리기에 가장 실수가 많다. 컴퍼스 없이 대충 감으로 그려서는 안 된다. 전개도 전체 모양만 생각하고 대충 넘어기면 안 된다. 너무 많은 시간을 삼각형 그리기에만 머물러 있어도 안 되겠지. 시간 조절을 적절하게 해서 정확하고 확실하게 삼각형 그리기를 다진다.  그것이 되어야 마음대로 각기둥을 그려 낼 수 있다.

7. 고치기와 제대로 그리기

제대로 그리고 있는지 아이 곁에서 살피고 챙긴다.

여전히 한두 아이는 틀린다. 설명을 제대로 듣지 않았거나 느려서 그렇다. 옆에서 또 천천히 말해 주면 컴퍼스 사용하는 것도 챙겨보고 지도 한다. 자 만으로는 정확히 그릴 수 없다. 우연히 정확하게 맞을 수는 있겠지만 늘 그러지는 못한다. 정확한 작도법도 함께 익히는 시간이다.

[417] 2014. 4. 3.

수학, 각기둥과 각뿔

각기둥과 각뿔을 같이 했다. 따로따로 한 차시이지만 묶어서 했다. 직관적으로 보고 알아내기 쉬워 묶었다.

도형 단원은 비교적 쉽게 답을 찾는다. 그렇지만 쉽다고 여기다가 한두 가지 개념을 빠뜨릴 수 있다니 조심할 점도 생긴다. 그런 부분을 찾아서 짚어줄 필요가 있다. 아이들은 어느 부분에서 헷갈려하는 지를 찾는 게 이번 수업의 탐색하고 연구할 부분이다.

칠판 내용은 교과서를 함께 보고 한다. 교과서에는 밑면을 칠하게 되어 있다. 밑면을 빗금을 그을 때는 도형 밖으로 벗어나지 않도록 일정 간격으로 긋도록 지도한다. 낙서하듯이 대충 긋는 애들이 있어서 미리 칠판에 적어두고 살펴보았다. 칠판만 보고 베끼거나 책 내용을 읽지 않고 곁눈으로 친구 책을 보고 그리는 애들도 있다.

생각 없이 하는 습관을 짚는다. 짚어주어야 한다. 생각해서 답한 것이 틀리는 것은 괜찮은데,생각 없이 따라거나 베껴 쓰기는 곤란하다. 고쳐야 한다. 

얼굴 사진을 붙여두고 아이들이 답할 기회를 준다. 한꺼번에 나온다.

처음에는 밑면에 대한 정의 부분이다. 말 그대로 밑면을 밑에 있는 면으로 생각하지 쉽다. 책에서는 평행한 두 면을 밑면이라고 정의한다. 밑에 있는 면이라고 생각하는 아이들에게는 밑이 될 수 있는 면이라고 말도 해주었다. 그리고 평행이 되지 두 면이 있는 도형을 그렸다. 굽어있는 도형이다. 그래서 각기둥이 될 수 없다. 평행도 아니고 기둥 모양도 아니기 때문이다.

한 아이가 칠판에 그려진 도형만 보고 답을 했다. 교과서를 보고 답을 하라고 했는데 그림을 다 그리지 못하고 대표로 오각뿔을 그렸더니 칠판에 있는 것만 보고 답을 했다. 맞긴 한데 교과서를 보면 다각형이다. 앉은 아이들이 보고 말해둔다. 드러난다. 이상하다고 여기면서 짚어주었다. 칠판만 보고하는 쓴 결과이다. 교과서와 함께 봐야하는데 제대로 챙기지 못한 것 같다.덜렁댄다고 여겨지는 아이가 여기서 드러난다. 드러나더라도 꾸중할 필요 없다. 오히려 이런 상황이 개념을 뚜렷이 짚을 수 있는 자극이 된다. 답 쓰고 나서 맞는지 판단할 수 있는 시간도 된다. 그래서 답 쓰는 아이들을 조금 긴장하고 집중력도 더 한다. 부담감은 주지 않도록 한다.

‘각뿔의 꼭지점’을 이라고 쓰면서

“이렇게 쓰는 게 맞나?”

“…….”

갑자기 던진 질문. 애매하다. 몇몇 아이가 교과서를 뒤진다. 사실 내가 더 낯설다. ‘꼭짓점’이다. 사이 시옷이어야 한다. 사이시옷을 넣지 않고 답하는 것이 기억나서 한 번 짚어 주려고 던진 질문이다.

남은 시간에 부록에 나오는 각기둥과 각뿔 전개도를 떼어내서 만들어 보기를 했다. 입체 모양을 풀로 붙여서 완성은 하지 않도록 한다.

접어서 만들어 보고 다시 펼쳐서 공책에 붙이게 한다. 붙여서 완성해 버리고나서는 쓰레기통이나 구석구석 버려진다. 그래서 끼워 맞춰 해보기까지 하고 펼쳐서 공책에 붙인다. 다음 차시에도 재활용할 수 있다.

이런 조작 활동할 때는 필요 없는 종이와 결과물 처리 고민도 생긴다. 종이 쓰레기를 바로 버릴 수 있게 종이 상자를 준비한다. 결과물 완성 상태를 그대로 둘 것인가, 보관할 것인가, 다른 형태로 재활용할 것인가를 두 번 세 번 생각한다. 이 도형 단원에서는 입체도형을 굳이 풀로 붙여서 완성해 두지 않아도 된다. 그래서 펼쳐서 공책에 붙인다. 완성 뒤 처리 문제도 고민거리다. 버리기에는 아깝고 모아 두기에는 어중간하고……. 되도록 재활용할 수 있도록 모아두는 방법을 생각한다. 공책에 붙이는 것이 가장 좋고, 다음에는 교실에 전시해 둔다. 전해두더라도 일정 기간을 정해둔다.

학습 전 준비와 학습 뒤 처리 문제도 아이들 학습 과정이다. 학교에서 학급에서 수업은 이런 부분까지 종합적으로 이루어진다. 학원과 결코 같을 수 없다. 공부와 학습의 범위가 넓다. 삶의 공부다. 우리는 학급에서 살아간다.

[412] 2014.4.1.

수학,  각기둥의 조건

앞 시간 여러 가지 문제 풀이를 교과서에 그대로 풀어서 내게 했다. 바로 시험지 매기듯이 매겼다. 한 문제당 1분씩, 20분 시간을 주었다. 그 시간에 못 푼 것은 못 푸는 문제로 한다.

이렇게 책을 거둬 매기면 아이들이 무엇을 많이 틀리는 것이 한 눈에 들어온다. 매 차시 열심히 가르쳤다고 생각하지만 복습하지 않으면 며칠 뒤 또 잊어버린다. 그래서 단원이 마칠 즘이면 교과서에서도 여러 가지 문제가 나온다. 형성평가를 할 수 있다. 많이 틀리는 문제만 골라 다시 푼다.

대부분이 서술 문제다. 수학 계산이나 개념보다는 문제를 해석하는 힘이 모라자라서 어려움을 겪는다. 식을 세우는 대부분은 수학문제는 결국 국어 문제이기도 하다.

앞 시간 못 했던 것을 점검할 동안 아이들은 입체 도형에 대한 문제를 익힘 책부터 풀게 했다. 준비학습을 풀고 입체 도형에 대한 문제를 먼저 풀게 했다. 선수학습이나 직감으로도 대충 어느 정도 문제 해결이 된다.

다 매겨주고 교과서를 돌려주었다.

이제 교과서로 입체도형에 대한 공부를 차근차근 풀어 보았다.

한 문제씩 풀다가 칠판에 빈자리에 아래 위 밑면이 평행이 입체 도형을 그렸다.

“이 도형은 아래 위 면이 평행합니까?”

“아니요!”

“그래? 다시 물어볼게요. 아래 위 면이 평행합니까?”

“아니요!”

당당하게 큰소리로 모두 이야기한다.

‘오개념 찾았다!’

아이들 머릿속에는 이미 ‘각기둥에 아니다’것에 초점을 지니고 있는 듯하다.

각기둥이 아니까 평행도 아니라고 쉽게 여겼나보다. 서너 번 쯤 물어보고 나서야 내가 무슨 질문을 하는지 들린 모양이다.

“아래 위 면이 평행합니까?”

“예.”

“그럼, 아래 위 면이 합동입니까?”

“아아, 아니요!”

그래 합동이 아닌 것을 평행도 아닌 것으로 착각했다. 미리 공부했지만 결과를 정해두고 생각하니 오개념을 순간 든 모양이다.

평행과 합동의 의미를 뚜렷하게 시키고 나서, 기둥 모양인 것은 각기둥이 된다. 밑면 원모양이면 원기둥이다.

두 아이를 시켜서 평행과 합동이 있는 도형을 그려보라고 했다. 사각 기둥만 그렸다. 시간이 없어서 이것으로 끝냈지만 여유가 있다면 몇 명 더 나오게 해서 사각 기둥 말고 다른 기둥을 그려보라고 했을 것이다. 그러면 교과서에 나오는 기둥들이 다 나왔을 것이다. 그리면서 머릿속에 생각해 두어야할 기준은 평행하고 합동이어야 한다는 것이다. 여기에 기둥 모양이다.(밑면과 수직인 높이를 그려야한다는 사실)

이렇게 그리게 한 까닭은 보이는 선과 보이지 않는 것을 실선과 점선으로 구분하는지 알아보려는 뜻이다. 제대로 그려 냈다. 잘 그린 말은 아니다. 남들이 봐서 제대로 성질이 잘 드러나도록 그리면 된다.

머릿속으로만 알고 있고 ‘안다’고 할 수 없다. 남이 보도록 드러내야 한다. 직접 그리고 말하고 표현해야 한다. 수학도 더 그렇다. 답 맞다고 계산 과정이 다 맞는 게 아니다. 계산 과정은 남 설득 과정인 셈이다. 과정에 대한 논리적인 설명으로 설득이 잘 되듯 수학에서는 체계적인 풀이 과정이 설득인 셈이다. 답보다 과정 기록과 설명이 중요하다. 계산 과정을 공책에 체계 있게 쓰고 정리하는 습관도 함께 길러준다.