땀샘 학급살이 이야기

[420] 2014.4.4.

수학, 각기둥의 전개도 그리기

각기둥의 전개도를 그려보기 때문에 자와 컴퍼스를 준비했다. 책에 바로 그린다.

1. 전개도 모양 그리기 [개인 발표 그리기] 사각 기둥, 삼각기둥

전개도 그리기에 앞서 여러가지 펼친 모양전 찾기부터 시작이다. 사각기둥과 삼각기둥이 먼저 나왔다. 두 아이를 시켜 서로 다른 전개도 모양을 그리게 했다. 곧잘 그렸다. 좀 더 다양한 모양으로 더 나오게 할 수 있겠지만 작도 시간이 걸려서 이 정도까지만 했다.

2. 자와 컴퍼스 학습 자료 준비

전개도 그리기에 자와 컴퍼스가 필요하다. 

자는 당연하고 컴퍼스는 삼각기둥 밑면인 삼각형 모양을 그릴 때 꼭 필요하다. 학년 자료로 준비되어 있어서 가져왔다.

3. 컴퍼스에 삼각형 밑면 그리기 안내

사각기둥 전개도는 눈금표에 대고 바로 그으면 된다. 

삼각기둥 전개도에서 밑면 삼각형은  컴퍼스가 필요하다. 자로 대충 그릴 수 없다. 아이들도 삼각형 작도는 지난 학년에 딱 한 번만해 보고 그 뒤로 그려본 적이 없다. 가물가물 그리는 모양이다. 그리는 방법을 다시 설명해주었다.

4. 작도하기와 살펴보기

이제 책에 바로 자와 컴퓨터로 그린다. 사각 기둥은 자로 하나로 금방 그린다. 모양은 칠판에도 있지만, 직감으로 바로 여러 가지 모양으로 바로 만든다.

5. 오개념 발견

삼각형 그리기에 문제가 드러났다. 몇몇이 삼각기둥 밑면과 옆면의 모양(길이)이 이상하다.

눈금 한 칸이 1cm이다. 삼각형 밑변이 6cm이면 6칸이다. 4cm와 3cm는 4칸, 3칸 된다. 그런데 컴퍼스를 안 쓰지 않고 자만으로 그려 놓은 게 보였다.

한 옆면 길이가 이상하다. 오려서 입체도형 만든다고 조금만 상상해도 고칠 수 있다.

6. 다시 작도 설명, 개념 형성

앞엣것 4cm와 3cm를 실수한 아이들처럼 그려 보았다. 하던 작도를 멈추고 보고 듣는다.

먼저 6cm를 그었다. 6칸이다. 쉽다. 

그 다음 4cm를 그리는데 밑변과 나란히 4칸을 표시, 3칸 위에 꼭짓점을 잡아서 그었다. 3칸은 높이가 된다. 여기까지 그리고 맞느냐고 물었더니 반쯤은 맞다는 눈치다. ‘틀렸다’는 말이 금방 나오지 않는다. 컴퍼스를 쓰지도 않았다. 모양도 안정적으로 보인다. 느낌상 맞다는 눈치다. 틀렸다. 사선 모양의 길이가 4칸과 3칸이 되어야 한다.

아래쪽에 다시 그렸다. 4칸과 3칸 길이를 컴퍼스로 재어서 두 원호를 그려 만나는 점을 정했다. 그 점을 밑변 양 끝점으로 이으면 정확한 4칸과 3칸 길이가 된다. 그래서 컴퍼스가 있어야 한다.

삼각기둥 전개도 그리기에서 삼각형 그리기에 가장 실수가 많다. 컴퍼스 없이 대충 감으로 그려서는 안 된다. 전개도 전체 모양만 생각하고 대충 넘어기면 안 된다. 너무 많은 시간을 삼각형 그리기에만 머물러 있어도 안 되겠지. 시간 조절을 적절하게 해서 정확하고 확실하게 삼각형 그리기를 다진다.  그것이 되어야 마음대로 각기둥을 그려 낼 수 있다.

7. 고치기와 제대로 그리기

제대로 그리고 있는지 아이 곁에서 살피고 챙긴다.

여전히 한두 아이는 틀린다. 설명을 제대로 듣지 않았거나 느려서 그렇다. 옆에서 또 천천히 말해 주면 컴퍼스 사용하는 것도 챙겨보고 지도 한다. 자 만으로는 정확히 그릴 수 없다. 우연히 정확하게 맞을 수는 있겠지만 늘 그러지는 못한다. 정확한 작도법도 함께 익히는 시간이다.

[405] 2014.3.27.

수학, 반올림하여 몫 구하기

나 나름의 수학 수업 흐름이 있다.

가장 먼저 칠판에 활동 문제를 적어 놓는다. 적을 동안 아이들도 공책에 쓰지만 교과서를 보지 않도록 한다. 다 쓰고 활동 문제를 아이들과 함께 이야기 하며 푼다. 보통 활동 문제는 두서너 가지다.

몇몇 아이에게 나와서 풀어보게 하게 하거나 그냥 내가 풀기도 한다. 이때 앉은 아이들은 쓰지 않도록 한다. 푸는 과정을 보도록 집중도를 높인다. 눈으로 익힌다는 표현이 어울릴 것이다. 대부분 아이들이 문제를 푼다. 간혹 식이나 답을 틀리게 쓰는 아이가 나오기도 한다. 그런 아이가 나와 준다면 고맙다. 왜 틀렸는지 고쳐가면서 설명할 수 있으니까.

거의 교과서대로 설명하는 방법과 같다. 이미 선수학습으로 아는 아이도 있다. 그래도 막상 시켜보면 뚜렷하고 알지 못하기도 한다. 알든 모르든 칠판과 나에 집중하도록 이끈다. 길어봤다 15분 넘지 않는다. 이게 끝나면 교과서를 보고 푼다.

한 번 들었던 이야기를 교과서에서 다시 푸는 셈이다. 두 번 푸는 셈이다.

오늘도 교과서 활동을 두 가지를 함께 이야기 했다. 사각형의 넓이와 세로가 주어졌을 때 가로의 길이를 구하는 문제다. 식을 써보게 시켰다.

두 번째 활동으로 소수점 뒤로 계속 이어지는 수를 어디에서 끊을 것인지 이야기했다.

너무 기니까 몇 번째에서 끊을까?

4.173은 4.17에 가깝나, 4.18에 가깝나?/ 4.17!

4.176은 4.17에 가깝나, 4.18에 가깝나?/ 4.18!

4.175는 4.17에 가깝나, 4.18에 가깝나?/ 4.18 쪽으로 넣자(정의 약속→ 반올림)

왜 반올림이 필요한지? 애매하게 중간에 걸리는 수(5)는 어디 쪽으로 넣을 것인지 정한다.

그래서 소수 첫째 자리를 구하라고 하면 둘째 자리를 보고 판단해야 한다는 사실을 안다. 아이들이 이미 다 알고 있기도 하지만 한번 정확한 개념을 되새겨준다.

이제 아이들은 교과서 문제와 익힘책을 스스로 풀어간다. 푸는 동안 돌아다니면서 아이들 곁을 돌아다닌다. 머리를 쓰다듬어 주거나 어깨를 토닥거려 주기도 한다. 다리 꼬는 아이, 둘레가 지저분한 아이, 책상이 어수선한 아이에게 바른 자세, 정리정돈 지도도 함께 이루어진다.

무엇보다 어떤 오개념을 지니고 있는 찾는 게 중요하다. 실수로 잘못 쓴 부분, 숫자를 날려서 써서 제대로 볼 수 없는 것도 짚어준다.

아이들 곁에 붙어서 푸는 과정을 살핀다. 자주 틀리거나 애매해하는 부분을 보인다. 이런 문제를 표시해 둔다. 어느 정도 풀었다 싶으면 칠판에 써서 다함께 푼다.

오늘은 몫에서 소수 자리에서 0이 나오는 부분에 헷갈려하는 아이가 있어서 모두 멈추게 해서 함께 풀었다.

위에서 빌려와도 나눌 수 없어서 또 한 번 더 빌려올 때 몫에 0을 붙여야 한다. 이런 과정을 잊은 아이가 있어서다. 쉬울 것 같은데 자주 이런 경우가 없어서 헷갈렸나보다.

이번 차시는 반올림하여 몫 구하기지만 뜻밖에 기초적인 풀이에 막힐 때가 있다. 그래서 아이들 곁에 다가가 푸는 과정을 하나하나 살핀다. 아이 키 높이만큼 꿇어앉아서 하나씩 살펴본다. 단순한 실수와 헷갈리는 실수는 구분된다. 개념 이해가 느리거나 뚜렷하지 않아서 늦을 수도 있다. 여러 실수 유형을 찾아내는 힘도 필요하다.

[401] 2014.3.26.

국어, 여러 가지 매체에서 조사한 정보를 ‘분류’하여 요약하는 글쓰기

어제 과제를 내어 주었다. 자기가 조사하고 싶은 주제를 여러 매체에서 찾아오라는 것이다. 조사한 게 있어야 간추려 ‘요약’할 수 있다.

고양이를 좋아하는 시진은 고양잇과 동물 크기별 분류를 조사했다. 식물, 자동차, 게임을 조사한 아이도 있다.

과제를 하지 않은 아이도 있다. 서너 명인데 조사한 게 없으니 이어갈 수 없다. 그래서 오늘 집에 가서 다시 해오도록 하고 지금은 상상해서라도 말을 만들어 보라고 했다.

조사 제목과 분류기준을 밝히고 조사 내용을 요약하는 것을 보니까 잘못 이해하는 아이가 나왔다. ‘공룡에 대하여’, ‘자동차의 유래’라는 제목을 달고 인쇄해온 글을 그대로 베끼고 있었다. 공룡에 대하여서는 공룡을 이름별 특징을 쓰고, 자동차 유래는 왜 언제 어디서 생겼는지 조사해서 쓰고 있다.

오늘 우리 분류할 수 있는 것이다. 분류하여 요약하는 것이다. 이런 개념을 이해 못하고 막연한 ‘조사’에 머물었기 때문에 이런 현상이 일어난 것 같다. 무엇을, 어떤 것을 ‘조사’해야 하는 기준이 없어서 그렇다.

‘공룡에 대하여’보다는 ‘여러 가지 공룡’이라고 제목을 쓰고, ‘먹이에 따라’ 초식, 육식, 잡식을 나누거나 사는 곳에 따라 땅, 바다, 하늘로도 나누어 요약하면 된다.

‘자동차의 유래’보다는 ‘여러 가지 자동차’라는 제목으로 ‘크기에 따라’ 대형, 중형, 소형으로 나누고 그 특징을 여러 가지 매체에서 조사한 것을 뽑아 요약해야 한다.

분류 기준에 합당하게 항목을 나누고 그 항목에 나오는 대상을 조사한 자료에서 정보를 찾아 넣어야 한다. 그 과정을 무시하고 막연한 ‘조사’가 되어서는 안 된다. 이런 점을 놓치는 아이들이 있어서 다시 하도록 했다. 한 사람씩 돌아다니면 살펴보니 아직도 이런 개념이 뚜렷하게 서지 않는 듯해서 자꾸 강조해서 들려주었다.

이 차시 학습 목표가 여러 매체에서 조사한 정보를 분류하여 요약하는 글쓰기다. 찬찬히 목표를 따져보자.

첫째, 여러 매체에서 ‘조사’를 해야 한다. 금방 즉석해서 조사할 수 없다. 상상이 아니다. 그래서 저번 차시 공부를 하면서 과제를 낸 것이다.

둘째, 조사한 정보를 ‘분류’해야 한다. 분류하지 않은 막연한 조사로 빠지면 안 된다. ‘분류’가 기준이 된다.

셋째, ‘요약’하는 일이다. 조사한 정보를 그대로 베낄게 아니라 필요한 부분만 빼내야 한다. 자기 생각과 주장을 뒷받침하는 의견을 빼내면 된다.

이 세 요소가 담긴 목표가 담긴 고급 사고가 필요하다.

여러 매체에서 조사한 정보를 요약만하는 오개념이 생기기도 한다. 여러 매체에서 조사한 정보를 ‘분류’하여 요약하게 하나하나 챙겨봐야 한다. 이 단원에서 자꾸 나오는 핵심 낱말이 ‘분류’다. ‘분류’가 빠져버린 정보 요약은 이 단원에서는 의미 없는 글이 되지 않을까?

[390] 2014.3.21.

수학, 자릿수가 다른 소수의 나눗셈

소수의 나눗셈 활동1과 활동2의 교과서 내용을 그대로 칠판에 옮겨 놓았다.

수학 수업은 오늘 공부할 활동 내용을 그대로 미리 써놓는다. 아이들이 이미 선행이 되었거나 아는 눈치면 몇몇 아이를 시켜서 칠판에 나와 쓰게 한다. 이때 앉은 아이들은 쓰면 안 된다. 그냥 보고만 있어야 한다. 나와 함께 이야기를 주고받고나 서 교과서나 공책에 푼다. 한 번은 보고 눈으로 풀고, 공책에 쓸 때는 손으로 푸는 셈이다. 두 번 되풀이하는 셈이다.

그래서 친구가 칠판에 풀고 있거나 내 설명 때는 받아쓰지 못하게 한다. 잘 듣는 자세 집중하는 몸가짐이 되게 한다. 교과서 문제를 다 풀고 나면 짝끼리 비교해보고, 수학 익힘책을 푼다. 내 수학 수업이 일반적인 전체 흐름이다.

오늘도 두 아이를 시켰다. 똑같은 문제다. 푸는 방법이 조금 다를 뿐이다. 그런데 답이 다르게 나왔다.

“여러분 여기 답이 다르게 나왔네요. 맞아요?”

“네!”

“답이 다 다른 게 맞다고요?”

“네에!”

당연히 아닌데 모두가 답이 다른 것이 당연하다는 듯 말했다. 이게 무슨 일이지?

“아니, 문제가 똑같은데 답이 다르다고?”

“음, 소수점이 찍은 것(푸는 과정)이 다르잖아요.”

푸는 과정이 다르니까 당연히 답도 다르다고 여기는 모양이다.

옳거니 잘 걸렸다. 오해를 하는 부분(오개념)을 나왔다. 푸는 방법이 다르면 답도 다르다는 오개념을 지니고 있었구나.

“그럼, 오늘 이게 정말 둘 다 답이 맞는지 해결보자.”

이렇게 말하자 몇몇 아이들이 이제 눈치를 챈 것인지 검산을 한 것인지

“밑에 것인 틀렸어!”

라고 말한다.

세로 셈으로 풀어보면서 결국 틀린 답을 찾았다. 머릿속 대충 셈과 다르다. 끝까지 확인 않고 짐작으로 끼워 맞추기식 계산도 오류를 만든다.

오늘 나온 오개념이 반갑고 고맙다. 이런 부분이 있어서 수학 시간이 재미있다. 어디에서 잘못 생각했는지, 헷갈렸는지 탐색하고, 찾아 해결하는 기쁨을 맛볼 수 있다. 무엇인가 잃어버린 물건을 찾은 보람 같기도 하다.

문제를 많이 푸는 것보다 한 문제라도 제대로 끝까지 얽힌 매듭을 푸는 게 중요하다. 한 매듭만 잘 풀어도 다 풀리는 게 많다.

이 두 문제의 비교 증명으로 15-20정도 걸렸다. 이제 교과서를 보고 공책에 쓴다. 네모 빈칸은 교과서에 쓰고 익히기 문제는 공책에 써서 푼다. 그대로 베끼기보다 스스로 다시 풀어본다는 마음으로 쓴다. 수학 익힘책 문제도 이어서 푼다.

보통 수학 익힘책까지 풀기에는 빠듯하다. 오늘은 수학 익힘책을 풀고도 시간이 남는 애들이 많았다. 이럴 때는 앞 차시 못 푼 문제를 풀도록 한다.