땀샘 학급살이 이야기

[405] 2014.3.27.

수학, 반올림하여 몫 구하기

나 나름의 수학 수업 흐름이 있다.

가장 먼저 칠판에 활동 문제를 적어 놓는다. 적을 동안 아이들도 공책에 쓰지만 교과서를 보지 않도록 한다. 다 쓰고 활동 문제를 아이들과 함께 이야기 하며 푼다. 보통 활동 문제는 두서너 가지다.

몇몇 아이에게 나와서 풀어보게 하게 하거나 그냥 내가 풀기도 한다. 이때 앉은 아이들은 쓰지 않도록 한다. 푸는 과정을 보도록 집중도를 높인다. 눈으로 익힌다는 표현이 어울릴 것이다.대부분 아이들이 문제를 푼다. 간혹 식이나 답을 틀리게 쓰는 아이가 나오기도 한다. 그런 아이가 나와 준다면 고맙다. 왜 틀렸는지 고쳐가면서 설명할 수 있으니까.

거의 교과서대로 설명하는 방법과 같다. 이미 선수학습으로 아는 아이도 있다. 그래도 막상 시켜보면 뚜렷하고 알지 못하기도 한다. 알든 모르든 칠판과 나에 집중하도록 이끈다. 길어봤다 15분 넘지 않는다. 이게 끝나면 교과서를 보고 푼다.

한 번 들었던 이야기를 교과서에서 다시 푸는 셈이다. 두 번 푸는 셈이다.

오늘도 교과서 활동을 두 가지를 함께 이야기 했다. 사각형의 넓이와 세로가 주어졌을 때 가로의 길이를 구하는 문제다. 식을 써보게 시켰다.

두 번째 활동으로 소수점 뒤로 계속 이어지는 수를 어디에서 끊을 것인지 이야기했다.

너무 기니까 몇 번째에서 끊을까?

4.173은 4.17에 가깝나, 4.18에 가깝나?/ 4.17!

4.176은 4.17에 가깝나, 4.18에 가깝나?/ 4.18!

4.175는 4.17에 가깝나, 4.18에 가깝나?/ 4.18 쪽으로 넣자(정의 약속→ 반올림)

왜 반올림이 필요한지? 애매하게 중간에 걸리는 수(5)는 어디 쪽으로 넣을 것인지 정한다.

그래서 소수 첫째 자리를 구하라고 하면 둘째 자리를 보고 판단해야 한다는 사실을 안다. 아이들이 이미 다 알고 있기도 하지만 한번 정확한 개념을 되새겨준다.

이제 아이들은 교과서 문제와 익힘책을 스스로 풀어간다. 푸는 동안 돌아다니면서 아이들 곁을 돌아다닌다. 머리를 쓰다듬어 주거나 어깨를 토닥거려 주기도 한다. 다리 꼬는 아이, 둘레가 지저분한 아이, 책상이 어수선한 아이에게 바른 자세, 정리정돈 지도도 함께 이루어진다.

무엇보다 어떤 오개념을 지니고 있는 찾는 게 중요하다. 실수로 잘못 쓴 부분, 숫자를 날려서 써서 제대로 볼 수 없는 것도 짚어준다.

아이들 곁에 붙어서 푸는 과정을 살핀다. 자주 틀리거나 애매해하는 부분을 보인다. 이런 문제를 표시해 둔다. 어느 정도 풀었다 싶으면 칠판에 써서 다함께 푼다.

오늘은 몫에서 소수 자리에서 0이 나오는 부분에 헷갈려하는 아이가 있어서 모두 멈추게 해서 함께 풀었다.

위에서 빌려와도 나눌 수 없어서 또 한 번 더 빌려올 때 몫에 0을 붙여야 한다. 이런 과정을 잊은 아이가 있어서다. 쉬울 것 같은데 자주 이런 경우가 없어서 헷갈렸나보다.

이번 차시는 반올림하여 몫 구하기지만 뜻밖에 기초적인 풀이에 막힐 때가 있다. 그래서 아이들 곁에 다가가 푸는 과정을 하나하나 살핀다. 아이 키 높이만큼 꿇어앉아서 하나씩 살펴본다. 단순한 실수와 헷갈리는 실수는 구분된다. 개념 이해가 느리거나 뚜렷하지 않아서 늦을 수도 있다. 여러 실수 유형을 찾아내는 힘도 필요하다.

[396] 2014. 3. 25.

수학, 소수의 나눗셈에서 나머지 알아보기

1. 소수의 나눗셈으로 똑같이 들어내는 나눗셈

“11.5에서 1.6을 몇 번 뺄 수 있지?”

칠판에 11.5에서 1.6을 한 번씩 한 번씩 빼나갔다. 모두 일곱을 뺐다. 몫이 된다. 나머지는0.3이이다.

2. 자연수의 나눗셈으로 똑같이 들어내는 나눗셈

“115에서 16을 몇 번 뺄 수 있지?”

이것도 칠판에 115를 쓰고 16을 한 번씩 빼나갔다. 모두 일곱 번이다. 몫이다. 나머지는 3이다.

1,2과정에서 빼는 횟수(몫)은 다 같다. 나머지가 다르다. 소수의 나눗셈과 자연수의 나눗셈으로 똑같이 들어내는 방법에서 나머지가 이렇게 차이가 난다. 이것을 살피는 공부다.

11.5÷1.6= □…□과 115÷16= □…□라고 쓴 교과서 식에서는 아이들이 그냥 필산으로 계산하거나 암산으로 끼워 맞추기식으로 채워 넣기만 해서 하나하나 빼는 과정을 따로 썼다.

3. 소수점을 옮겨 필산으로 계산하는 방법

몫에 붙이는 소수점과 나머지에 붙이는 소수점 위치를 잘 챙겨야 한다. 마지막 나머지에서 곱하고 빼기를 하면서 자연수 그대로 두는 경우가 있다. 소수점을 원래 위치에서 내려오도록 해서 찍어주는 것을 잊지 않도록 돌아가면서 살펴주었다. 

몇몇 아이를 시켜서 지금까지 이야기 나누었던 과정을 다시 설명하도록 시켰다. 실제로 듣는 것과 말해보는 것은 다르다. 꼭 한둘 정도는 내가 설명한 과정을 나와서 시킨다. 어떻게 들었는지 확인하는 일이기도 하다.

[390] 2014.3.21.

수학, 자릿수가 다른 소수의 나눗셈

소수의 나눗셈 활동1과 활동2의 교과서 내용을 그대로 칠판에 옮겨 놓았다.

수학 수업은 오늘 공부할 활동 내용을 그대로 미리 써놓는다. 아이들이 이미 선행이 되었거나 아는 눈치면 몇몇 아이를 시켜서 칠판에 나와 쓰게 한다. 이때 앉은 아이들은 쓰면 안 된다.그냥 보고만 있어야 한다. 나와 함께 이야기를 주고받고나 서 교과서나 공책에 푼다. 한 번은 보고 눈으로 풀고, 공책에 쓸 때는 손으로 푸는 셈이다. 두 번 되풀이하는 셈이다.

그래서 친구가 칠판에 풀고 있거나 내 설명 때는 받아쓰지 못하게 한다. 잘 듣는 자세 집중하는 몸가짐이 되게 한다. 교과서 문제를 다 풀고 나면 짝끼리 비교해보고, 수학 익힘책을 푼다. 내 수학 수업이 일반적인 전체 흐름이다.

오늘도 두 아이를 시켰다. 똑같은 문제다. 푸는 방법이 조금 다를 뿐이다. 그런데 답이 다르게 나왔다.

“여러분 여기 답이 다르게 나왔네요. 맞아요?”

“네!”

“답이 다 다른 게 맞다고요?”

“네에!”

당연히 아닌데 모두가 답이 다른 것이 당연하다는 듯 말했다. 이게 무슨 일이지?

“아니, 문제가 똑같은데 답이 다르다고?”

“음, 소수점이 찍은 것(푸는 과정)이 다르잖아요.”

푸는 과정이 다르니까 당연히 답도 다르다고 여기는 모양이다.

옳거니 잘 걸렸다. 오해를 하는 부분(오개념)을 나왔다. 푸는 방법이 다르면 답도 다르다는 오개념을 지니고 있었구나.

“그럼, 오늘 이게 정말 둘 다 답이 맞는지 해결보자.”

이렇게 말하자 몇몇 아이들이 이제 눈치를 챈 것인지 검산을 한 것인지

“밑에 것인 틀렸어!”

라고 말한다.

세로 셈으로 풀어보면서 결국 틀린 답을 찾았다. 머릿속 대충 셈과 다르다. 끝까지 확인 않고 짐작으로 끼워 맞추기식 계산도 오류를 만든다.

오늘 나온 오개념이 반갑고 고맙다. 이런 부분이 있어서 수학 시간이 재미있다. 어디에서 잘못 생각했는지, 헷갈렸는지 탐색하고, 찾아 해결하는 기쁨을 맛볼 수 있다. 무엇인가 잃어버린 물건을 찾은 보람 같기도 하다.

문제를 많이 푸는 것보다 한 문제라도 제대로 끝까지 얽힌 매듭을 푸는 게 중요하다. 한 매듭만 잘 풀어도 다 풀리는 게 많다.

이 두 문제의 비교 증명으로 15-20정도 걸렸다. 이제 교과서를 보고 공책에 쓴다. 네모 빈칸은 교과서에 쓰고 익히기 문제는 공책에 써서 푼다. 그대로 베끼기보다 스스로 다시 풀어본다는 마음으로 쓴다. 수학 익힘책 문제도 이어서 푼다.

보통 수학 익힘책까지 풀기에는 빠듯하다. 오늘은 수학 익힘책을 풀고도 시간이 남는 애들이 많았다. 이럴 때는 앞 차시 못 푼 문제를 풀도록 한다.

[381] 2014.3.18.

수학 단원 평가, 오답 공책 만들기

   수학 한 단원 마쳤다. 분수의 나눗셈이다. 오늘은 정리하는 시간 겸 오답 공책 만드는 법도 함께 익혔다. 집에서도 할 수 있다. 문제 풀고 틀린 것만 모은다.

올해는 따로 오답공책을 안 만들고 수학 공책에 바로 한다. 지금까지 쓴 부분에서 한 쪽 여백이 남아서 무조건 새 쪽부터 시작한다.

문제를 풀 때는 시간을 정한다. 한 문제에 일이 분 정도 되게 한다. 그 시간 안에 못 풀면 알고 있어도 못 푼 걸로 친다. 헷갈리거나 찍은 문제도 틀린 문제로 친다.

틀린 문제는 아무 표시 않고 오려서 공책에 붙인다. 다 맞은 사람은 다 맞아도 시간이 좀 걸린 문제 한 가지 골라 붙인다.

문제 따로 답지 따로 붙인다. 공책이 아까워 문제 바로 밑에 붙인다면 답이 안 보이도록 뒤집어서 붙이도록 한다. 우리 반에 복습 도장이 있다. 작년부터 써왔는데 몇 달 묵힌 것을 꺼냈다.

틀린 문제 옆에 복습도장을 찍어 주었다. 다음부터는 스스로 찍게 할 것이다. 오늘 틀린 것을 한 시간 뒤 다시 풀고(학교서 못 풀면 집에서) 다음 말 다시 또 풀고, 삼일 또는 일주일 뒤 또 풀고, 한 달 뒤(시험 기간)에 또 풀도록 한다. 주기적으로 반복해서 풀면서 문제가 눈에 몸에 익도록 한다.

이 과정을 ‘참나 공책’에 쓴다. 스스로 공부 방법을 또 한 가지 익힌다.

공부도 습관이다. 꾸준히 반복해야 습관이 된다. 몸에 스며들도록 한다. 한꺼번에 외워버리고 가만있으면 한꺼번에 잊어버린다. 천천히 되새김질하면서 해야 언제든지 떠올릴 수 있다.

조금 꾸준히 재미있게 해야 한다.

[376] 2014.3.14

수학, 대분수의 나눗셈 세 가지 방식으로 풀기

앞 시간에서 익혔던 분자와 분모 바꾸기어 곱하기에 대한 질문을 던졌다. 왜 분자와 분모 바꾸기로 하는지 모두가 알고 있었다. 책을 덮어 놓고 한두 가지 질문을 던져서 앞 시간에 했던 것을 떠올리게 한다. 늘 질문을 던져서 습관되게 한다.

오늘은 대분수의 세 가지 방법으로 푸는 것이다.

공책에 쓰기에 앞서서 이번 시간을 설명을 시간을 먼저 잡는다. 함께 풀어보기는 것이다. 색 분필로 차근차근 풀어보면서 견주어야 한다.

풀기에 앞서 칠판에 왼쪽 아래 모퉁이에 ‘①마음 ②정돈 ③집중 ④기록’이라 썼다.

가장 먼저 마음부터 잡아야 한다는 말. 배우고 싶은, 알고 싶은 마음을 지니자는 말이다.

두 번째는 정리 정돈. 책상 위에 공책과 교과서, 연필 한 자루, 지우개 한 개만 올려놓게 한다. 다른 물건은 다 서랍에 넣는다. 불필요한 것이 쌓이거나 떨어지지 않도록 해야 한다. 책상 위가 내 머리 상태라 여기고 정리하자.

세 번째는 수업 중 집중이다. 마음을 잡고 정리 정돈되면 자연스럽게 집중할 수 있는 기본은 갖추어진다.

마지막으로 기록! 손을 자주 움직이란 뜻이다. 그런데 내가 설명할 때는 쓰지 못하게 들고 말 주고받기에 힘쓴다. 설명 끝나면 기록하도록 한다.

오늘은 대분수의 나눗셈을 세 가지 방법으로 푼다. 결국 세 번째 방법이 빠르고 간편하다.그렇다고 해서 세 번째 방법으로만 풀라고 하지 않는다. 세 방법 모두가 써서 푼다. 오늘까지만 그렇게 하고 다음 차시부터 세 번째 방법으로 한다. 하게 될 것이다. 세 번째 방법이 쉽게 빠르다는 것을 아는 게 또 하나의 목표다.

[371]  2014년 3월 11일

수학, 풀고 매기고 점검하고

“단위 분수와 진분수의 나눗셈 모르는 사람?”

“헷갈리는 사람은?”

수학 분수의 나눗셈은 아이들이 이미 선행 학습되어 있었다. ‘선행’되었다 해서 다 아는 것도 아니다. 답을 내는 것을 풀 줄 안다고 여긴다. 그런데 장담 못 한다.

  어제 공부한 분모가 다른 분수의 나눗셈을 곱셈식으로 바꾸려면 역수를 곱한다는 사실을 ‘찾아내는’ 공부를 했다. 왜 역수로 곱해야하는 지를 증명해야하는 일이다.

역수로 곱한다는 것을 외우고 있다. 그런데 왜 그렇게 해야 하는 지에 대한 질문에 선뜻 답하지 못했다. 교과서에도 과정이 친절하게 나온다. 통분하고 같은 분모는 빼서 나눗셈 식으로 만들고, 다시 분수로 만들어 분모의 곱셈 자리를 바꾸고 분리하면 역수의 곱이 된다. 여기에서 숫자를 위치를 바꿔 분리하는 부분을 많이 헷갈려 한다.

단순해 보이지만 이런 과정까지 알지 못하거나, 뛰어 넘어 ‘역수로 곱한다’는 사실만 외우면 공식에 끼워 넣기식 문제 풀이만 될 뿐이다. 이것이 암기식 ‘선행’학습의 문제점이다. 과정과 논리가 사라졌기 때문이다.

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오늘은 이 부분을 한 번 더 확인 했다. 처음으로 모둠 책상으로 바꾸었다. 모둠에서 가위바위보해서 진 사람을 일으켜 세우고, 다시 나와 가위바위보해서 진사람 둘을 나오게 했다. 그 두 사람이 나와서 풀게 했다.

누가 걸릴지 모르는 우연적인 선택이 되게 한다. 긴장도 재미도 있다.

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   풀다가 막히면 그 모둠 아이 가운데 한 사람이 나와 도와준다.

문제를 푸는 것도 중요하지만 문제 풀 아이 뽑는 법, 협동 학습하는 법도 함께 익혀 가야 한다. 내가 바로 답을 일러 주기보다 늦더라도 이런 과정을 자주 밟도록 한다. 생각하고 고민하고 의심하고 확인하면서 기억이 오랫동안 남는다.

  이제 오늘 공부할 자연수와 진분수의 나눗셈이다. 이 문제가 쉬워서 각 모둠에서 한 사람을 시켜서 할 것이라고 미리 알렸다.

모둠 아이들끼리 번호를 정해두었다. 넷 또는 다섯이니 1번에서 5번까지 아무 숫자를 골라 해당 학생이 나와서 풀게 한다. 이때 숫자 카드나 주사위를 쓰기도 한다.

언제 누가 될지 모르니까 자기가 나간다고 여기며 준비해야 한다. 다 쓰고 나면 답을 매겨야 한다. 매길 사람도 아이들이다. 칠판에 답 매길 모둠 번호를 붙여두었다. 모둠에서 의논해서 한 사람 나오게 한다. 때로는 번호를 불러서 지정하기도 한다.

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이번 단원은 쉽고 기본적인 문제라서 거의 모두가 한 번씩 나오도록 했다.

만일 어렵고 복잡한 문제라면 집중도를 높이고 갈등을 불러일으키는 다른 방법이 으로 해야겠지.

풀고 매기고 확인하고 정리하기까지 모두 아이들 손으로 이루어지게 아이디어를 내며 수업 준비를 한다. 나는 이게 공부다.