땀샘 학급살이 이야기

[484] 2014.5.15

수학, 원의 넓이 익힘책과 문제 해결 문제

1. 큰 원에서 작은 빼기 문제

지료를 만들었다. 원 안에 두 원이 때어져 나오도록 만들었다. 개념 형성이 아직 늦거나 도형을 머릿속으로 떠올리기 힘든 아이가 있기 때문에 입체적으로 드러나게 만들었다.

1번에서 3번 문제는 공식만 갖다 넣기만 하면 풀어지는 문제다. 익힘책에서 아이들이 혼란스러울 것만 함께 풀어보도록 했다.

흰 원을 떼어 내어 붙이고 분홍 큰 원은 따로 준비해서 붙였다. 나머지 분홍빛 넓이를 떼어 내어서 모양 식으로 구성했다. 한눈에 드러난다.

문제 푸는 방법을 머릿속에 뚜렷하게 그려져야 계산식으로 나타내어진다. 이 과정을 위해 자료를 만든 것이다.

각 도형 밑 그 동안의 넓이를 구하는 식을 쓴다. 두 아이를 시켰다. 자연스럽게 전체 식이 된다.

2. 둘레와 넓이 구하기

6번 문제는 교과서에서는 넓이를 먼저 구하도록 나온다. 둘레는 다음 차례다. 나는 거꾸로 했다. 아이들이 그림만 보고 당연히 넓이 계산이라고 여기며 자꾸 착각을 하기 때문이다. 무엇을 물어보는지를 새겨 보고 들으라는 뜻이다. 넓이보다 둘레 구하기가 까다롭다. 잘못 생각하면 원 하나의 둘레만 계산해 버리기도 한다. 둘레는 사각형 둘레와 원 둘레의 합이 된다. 넓이가 아니다. 둘레를 계산하고 나서 넓이를 구한다. 넓이는 그래서 더 쉽다. 

둘레에 썼던 원을 다시 붙여 놓고 넓이를 구하게 했다. 한 사람이 나와서 정사각형 안에 네 조각을 떼어내 하나의 원을 만든다. 하나의 원 넓이가 된다.

둘레를 먼저 계산하고 나니까 넓이는 더 쉽다. 이 문제는 둘레와 넓이를 잘 구분해서 생각해야 한다.

3. 넓은 차례대로 정하기

이 문제는 두 가지 방법이 나온다. 모두가 넓이로 바꾸거나, 식을 세워서 반지름을 알아보는 법이다. 처음에는 넓이로 다 구해보려고 했는데 식을 써다보니까 자연스럽게 모두 식으로 바뀌었다. 식에서 모두 원주율이 나오니까 이것을 뺀 나머지 숫자인 반지름을 견주면 금방 나온다.

4. 문제 해결 문제

문제해결 문제에는 큰 원에 초록 원 두 개와 주황 원 다섯 개가 나온다. 주황 원 다섯 개의 원주의 길이가 큰 원의 원주와 같다. 두 초록 원의 원주의 합이 큰 원주의 길이와 같다. 원이 둘레로 알아보는 문제다.

이것을 증명하는 방법으로 식을 쓰면서 풀었다. 각 항마다 같은 수(원주)가 곱해진다. 여기서 곱해지는 수는 그대로 두고 더하거나 빼기를 먼저하고 곱하면 빠르기다. 그런 과정도 덤으로 알려주었다.

 수학82쪽_탐구활동_수학익힘87쪽,88쪽.hwp

[484] 2014.5.15

수학, 원의 넓이 익힘책과 문제 해결 문제

1. 큰 원에서 작은 빼기 문제

지료를 만들었다. 원 안에 두 원이 때어져 나오도록 만들었다. 개념 형성이 아직 늦거나 도형을 머릿속으로 떠올리기 힘든 아이가 있기 때문에 입체적으로 드러나게 만들었다.

1번에서 3번 문제는 공식만 갖다 넣기만 하면 풀어지는 문제다. 익힘책에서 아이들이 혼란스러울 것만 함께 풀어보도록 했다.

흰 원을 떼어 내어 붙이고 분홍 큰 원은 따로 준비해서 붙였다. 나머지 분홍빛 넓이를 떼어 내어서 모양 식으로 구성했다. 한눈에 드러난다.

문제 푸는 방법을 머릿속에 뚜렷하게 그려져야 계산식으로 나타내어진다. 이 과정을 위해 자료를 만든 것이다.

각 도형 밑 그 동안의 넓이를 구하는 식을 쓴다. 두 아이를 시켰다. 자연스럽게 전체 식이 된다.

2. 둘레와 넓이 구하기

6번 문제는 교과서에서는 넓이를 먼저 구하도록 나온다. 둘레는 다음 차례다. 나는 거꾸로 했다. 아이들이 그림만 보고 당연히 넓이 계산이라고 여기며 자꾸 착각을 하기 때문이다. 무엇을 물어보는지를 새겨 보고 들으라는 뜻이다. 넓이보다 둘레 구하기가 까다롭다. 잘못 생각하면 원 하나의 둘레만 계산해 버리기도 한다. 둘레는 사각형 둘레와 원 둘레의 합이 된다. 넓이가 아니다. 둘레를 계산하고 나서 넓이를 구한다. 넓이는 그래서 더 쉽다. 

둘레에 썼던 원을 다시 붙여 놓고 넓이를 구하게 했다. 한 사람이 나와서 정사각형 안에 네 조각을 떼어내 하나의 원을 만든다. 하나의 원 넓이가 된다.

둘레를 먼저 계산하고 나니까 넓이는 더 쉽다. 이 문제는 둘레와 넓이를 잘 구분해서 생각해야 한다.

3. 넓은 차례대로 정하기

이 문제는 두 가지 방법이 나온다. 모두가 넓이로 바꾸거나, 식을 세워서 반지름을 알아보는 법이다. 처음에는 넓이로 다 구해보려고 했는데 식을 써다보니까 자연스럽게 모두 식으로 바뀌었다. 식에서 모두 원주율이 나오니까 이것을 뺀 나머지 숫자인 반지름을 견주면 금방 나온다.

4. 문제 해결 문제

문제해결 문제에는 큰 원에 초록 원 두 개와 주황 원 다섯 개가 나온다. 주황 원 다섯 개의 원주의 길이가 큰 원의 원주와 같다. 두 초록 원의 원주의 합이 큰 원주의 길이와 같다. 원이 둘레로 알아보는 문제다.

이것을 증명하는 방법으로 식을 쓰면서 풀었다. 각 항마다 같은 수(원주)가 곱해진다. 여기서 곱해지는 수는 그대로 두고 더하거나 빼기를 먼저하고 곱하면 빠르기다. 그런 과정도 덤으로 알려주었다.

수학82쪽_탐구활동_수학익힘87쪽,88쪽.hwp

[481] 2014.5.13.

수학, 원의 넓이 여러 가지 문제를 풀어 봅시다.

단원 정리 여러 가지 문제를 풀어본다. 여러 가지 문제도 여러 방법으로 풀어본다. 먼저 개인별로 풀 시간을 10-15분 정도 준다.

1. 교과서를 읽어가면서 답하기

1번과 3번 문제는 네모 칸 채우기 형식이다. 이런 문제는 한두 아이가 읽어가면서 답하게 하고 모두 함께 따라 읽어가면서 서너 번 반복해서 읽는다. 2번 문제도 네모 칸에 숫자는 넣는 것이다. 문제를 읽어가면서 답하도록 한다. 빨리 넘어간다.

2. 나와서 식 쓰기

4번 같은 문제를 세 아이를 시킨다. 식만 쓰게 한다. 답을 모두에게 말을 하게 해서 내가 직접 써준다. 모두 함께 맞는지 동그라미 치면서 확인해 나간다. 이 때 틀리다고 하면 틀린 아이에게 한 번 더 기회를 주고, 그래도 틀리면 다른 친구에게 고칠 기회를 주어서 맞을 때까지 반복한다. 틀린 것은 지우지 않고 그대로 두고 푼다.

3. 함께 풀기 

5번과 6번 응용문제에 아이들 차이가 드러난다. 제대로 이해 못하거나 아예 손도 못 대는 아이가 보인다. 이 문제는 시간을 보고 결정한다. 시간이 넉넉하면 몇몇 아이를 나오게 해서 풀도록 하지만 시간이 모자라면 묻고 답하면서 풀이 과정을 적어간다.

5번 문제는 먼저

“이 문제를 어떻게 풀지? 어떤 방법으로 풀어야할까?”

잠시 기다리면 푸는 방법을 적절하게 말하는 아이가 있다. 식을 말하는 게 아니다. 식은 함께 세우면 된다. 둘레를 구해서(한 바퀴 돈 길이) 전체 길이를 나누면 몇 바퀴가 돌았는지 알 수 있다.

6번은 문제를 둘레와 넓이를 구하는 문제다. 구해야 할 둘레를 그림으로 그려 그렸다. 그냥 말이나 손으로만 지시하면 잘 떠오르지 않으니까 분리해서 그렸다.

하나씩 어떻게 구하는 지 아이 몇몇에게 물어가면서 답을 구한다. 이때 실력 낮은 아이와 중간 아이 위주로 시키고, 최종적 전체 식은 잘하는 아이가 말하게 한다.

다 정리되면 이제 공책에 쓴다. 복습하는 셈이다. 책에 바로 쓰기도 하는데 5번, 6번은 되도록 공책에 그 풀이 과정을 꼭 쓰게 한다. 별표를 붙인 것은 이런 문제가 시험에 꼭 나온다고 일러준 것이다. 실제 이런 응용문제가 많이 나온다.

81쪽_문제를_풀어봅시다에_원.hwp

[481] 2014.5.13.

수학, 원의 넓이 여러 가지 문제를 풀어 봅시다.

단원 정리 여러 가지 문제를 풀어본다. 여러 가지 문제도 여러 방법으로 풀어본다. 먼저 개인별로 풀 시간을 10-15분 정도 준다.

1. 교과서를 읽어가면서 답하기

1번과 3번 문제는 네모 칸 채우기 형식이다. 이런 문제는 한두 아이가 읽어가면서 답하게 하고 모두 함께 따라 읽어가면서 서너 번 반복해서 읽는다. 2번 문제도 네모 칸에 숫자는 넣는 것이다. 문제를 읽어가면서 답하도록 한다. 빨리 넘어간다.

2. 나와서 식 쓰기

4번 같은 문제를 세 아이를 시킨다. 식만 쓰게 한다. 답을 모두에게 말을 하게 해서 내가 직접 써준다. 모두 함께 맞는지 동그라미 치면서 확인해 나간다. 이 때 틀리다고 하면 틀린 아이에게 한 번 더 기회를 주고, 그래도 틀리면 다른 친구에게 고칠 기회를 주어서 맞을 때까지 반복한다. 틀린 것은 지우지 않고 그대로 두고 푼다.

3. 함께 풀기 

5번과 6번 응용문제에 아이들 차이가 드러난다. 제대로 이해 못하거나 아예 손도 못 대는 아이가 보인다. 이 문제는 시간을 보고 결정한다. 시간이 넉넉하면 몇몇 아이를 나오게 해서 풀도록 하지만 시간이 모자라면 묻고 답하면서 풀이 과정을 적어간다.

5번 문제는 먼저

“이 문제를 어떻게 풀지? 어떤 방법으로 풀어야할까?”

잠시 기다리면 푸는 방법을 적절하게 말하는 아이가 있다. 식을 말하는 게 아니다. 식은 함께 세우면 된다. 둘레를 구해서(한 바퀴 돈 길이) 전체 길이를 나누면 몇 바퀴가 돌았는지 알 수 있다.

6번은 문제를 둘레와 넓이를 구하는 문제다. 구해야 할 둘레를 그림으로 그려 그렸다. 그냥 말이나 손으로만 지시하면 잘 떠오르지 않으니까 분리해서 그렸다.

하나씩 어떻게 구하는 지 아이 몇몇에게 물어가면서 답을 구한다. 이때 실력 낮은 아이와 중간 아이 위주로 시키고, 최종적 전체 식은 잘하는 아이가 말하게 한다.

다 정리되면 이제 공책에 쓴다. 복습하는 셈이다. 책에 바로 쓰기도 하는데 5번, 6번은 되도록 공책에 그 풀이 과정을 꼭 쓰게 한다. 별표를 붙인 것은 이런 문제가 시험에 꼭 나온다고 일러준 것이다. 실제 이런 응용문제가 많이 나온다.

81쪽_문제를_풀어봅시다에_원.hwp

[479] 2014.5.12.

수학, 원의 넓이 구하기

오늘 오후부터 출장이었다. 그래서 오후 수학 시간은 대교다. 다른 선생님이 오시기로 했지만 아이들 스스로 공부해보도록 했다.

우리가 평소에 공부하듯이 해보도록 봉사위원에서 알려주었다. 칠판에 쓸 내용과 자료를 만들어서 교과서에 꽂아주었다. 대교하실 선생님께 아이들끼리 해보도록 봐주시라 부탁해두었다. 틀리거나 하는 부분만 살펴보시라고 했다.

수업 과정도 사진기로 찍도록 남겨두고 왔다.

오후에 와서 사진기를 보니 어떻게 수업을 했는지 담겨 있었다. 오늘 공부한 활동을 칠판에 번호표를 붙이면서 적어 놓는다. 봉사위원 한 사람이 쓰면 된다.

개인별로 풀 시간을 준다. 타이머로 시간을 재어 준다.

시간이 끝나면 번호표마다 풀 사람을 사진이름표를 붙여서 시킨다. 사진기를 보니까 풀어서 설명도 하게 했다. 동영상도 찍어두었다.

봉사위원이 열심히 봐주었다. 풀면서 책상 사이를 돌아다니며 집중도 시킨다. 기특한 아이들이다. 남은 시간에는 수학 익힘책을 하도록 쪽수도 적어 두었다.

79쪽_원그림.hwp

[479] 2014.5.12.

수학, 원의 넓이 구하기

오늘 오후부터 출장이었다. 그래서 오후 수학 시간은 대교다. 다른 선생님이 오시기로 했지만 아이들 스스로 공부해보도록 했다.

우리가 평소에 공부하듯이 해보도록 봉사위원에서 알려주었다. 칠판에 쓸 내용과 자료를 만들어서 교과서에 꽂아주었다. 대교하실 선생님께 아이들끼리 해보도록 봐주시라 부탁해두었다. 틀리거나 하는 부분만 살펴보시라고 했다.

수업 과정도 사진기로 찍도록 남겨두고 왔다.

오후에 와서 사진기를 보니 어떻게 수업을 했는지 담겨 있었다. 오늘 공부한 활동을 칠판에 번호표를 붙이면서 적어 놓는다. 봉사위원 한 사람이 쓰면 된다.

개인별로 풀 시간을 준다. 타이머로 시간을 재어 준다.

시간이 끝나면 번호표마다 풀 사람을 사진이름표를 붙여서 시킨다. 사진기를 보니까 풀어서 설명도 하게 했다. 동영상도 찍어두었다.

봉사위원이 열심히 봐주었다. 풀면서 책상 사이를 돌아다니며 집중도 시킨다. 기특한 아이들이다. 남은 시간에는 수학 익힘책을 하도록 쪽수도 적어 두었다.

79쪽_원그림.hwp

[479] 2014.5.12.

수학, 원의 넓이 구하기

오늘 오후부터 출장이었다. 그래서 오후 수학 시간은 대교다. 다른 선생님이 오시기로 했지만 아이들 스스로 공부해보도록 했다.

우리가 평소에 공부하듯이 해보도록 봉사위원에서 알려주었다. 칠판에 쓸 내용과 자료를 만들어서 교과서에 꽂아주었다. 대교하실 선생님께 아이들끼리 해보도록 봐주시라 부탁해두었다. 틀리거나 하는 부분만 살펴보시라고 했다.

수업 과정도 사진기로 찍도록 남겨두고 왔다.

오후에 와서 사진기를 보니 어떻게 수업을 했는지 담겨 있었다. 오늘 공부한 활동을 칠판에 번호표를 붙이면서 적어 놓는다. 봉사위원 한 사람이 쓰면 된다.

개인별로 풀 시간을 준다. 타이머로 시간을 재어 준다.

시간이 끝나면 번호표마다 풀 사람을 사진이름표를 붙여서 시킨다. 사진기를 보니까 풀어서 설명도 하게 했다. 동영상도 찍어두었다.

봉사위원이 열심히 봐주었다. 풀면서 책상 사이를 돌아다니며 집중도 시킨다. 기특한 아이들이다. 남은 시간에는 수학 익힘책을 하도록 쪽수도 적어 두었다.

[473] 2014.5.9.

수학, 원의 넓이를 구하는 방법

1. 전시 학습 상기

원의 넓이를 어림으로 구하는 방법을 앞 시간에 공부했다. 원 안에 들어가는 최대 크기 마름모와 원을 포함하는 정사각형의 넓이를 합하여 나누어서 원의 넓이를 어림해서 구했다.또 모눈 눈금을 그려서 안쪽 네모와 원을 품은 네모를 개수를 알아보기도 했다. 몇몇 아이들 일으켜 세워서 앞 시간에 이런 내용을 말하게 했다.

앞 시간에 원은 그대로 두고 내접과 외접, 또는 모눈 칸을 만들어서 구하는 방법을 썼다면 이번 시간은 원을 쪼개서 네모 모양으로 만들어 원을 구하는 것이다. 사각형의 넓이를 구할 수 있으니까 사각형 모양으로 만드는 것이다.

교과서에는 원 조각을 스티커를 떼서 모눈종이 붙여 보도록 하고 있다. 먼저 이런 활동을 하게 하면 시간도 많이 걸리고, 하고 나서 무엇을 했는지 감을 잡지 못하기도 한다. 그래서 작업은 함께 개념을 알고 난 뒤로 하기로 했다.

오늘은 이 교과서는 나와 함께 설명을 듣고 서로 이야기 나눈 뒤 다시 되돌아보는 복습 차원에서 풀이를 한다.

2. 조각내기 영상으로 알아보기

예전에 만들어둔 플래시 자료를 먼저 이용했다. 클릭하면 8조각, 16조각이 쪼개지면서 점점 평행사변형에서 직사각형 모양으로 바뀌어간다.

원주도 둘로 나뉘어 져서 가로의 길이로 바뀐다.

아이들에게 한 사람씩 질문을 하면서 가로의 길이를 어떻게 구하는지, 어떤 길이인지 맞춰가도록 했다. 원주라고 말하는 아이도 있고, 원 둘레의 반, 원주의 반이라고 하는 아이도 있다. 답은 원주의 반이다. 원 둘레의 반이다.

32조각으로 나뉘는 것도 나오고 최종 직사각형으로 바뀌는 것 까지 나온다.

네 번 씩이나 가로의 길이를 어떻게 구하면 될 것인지 물었다. 세로의 길이가 반지름이란 것을 직감으로 아는데 가로의 길이를 바로 말하지 못하는 아이가 몇몇 있다. 쪼개져서 다시 사각형 모양으로 모이는 장면을 8조각, 16조각, 32조각, 수많은 조각을 보면서 되풀이해서 같은 답이 나온다. 그래서 결국 원의 넓이는 직사각형의 넓이가 된다. 그 아래 풀이과정은 보여주지 않고 넘겼다. 여기서는 가로의 길이가 원주의 반이라고 개념만을 확실히 알면 된다.

 땀샘_원넓이이해_완성.exe

3. 다른 도형으로 바꾸기(삼각형으로도)

두 번째 플래시 파일도 같은 방법이다. 그런데 한 가지 더 있다.

직사각형으로 바뀌는 것은 바로 앞에서 했으니 다시 보며 복습을 한 번 더 하는 셈이다. 직사각형으로 바뀌어가는 형상을 본다.

“직사각형 말고 다른 모양으로 원을 바꾸는 방법은 없을까?”

이렇게 물었지만 갸우뚱거리기만 할 뿐이다. 교과서에도 나오지 않는 방법이다.

삼각형으로 바꾸는 방법이다. 양파 껍질 까듯이 한 겹 한 겹 벗겨서 만드는 것이다. 여기까지 영상을 보면서 바뀌는 모양을 탐색해 보았다.

 원을_다른_도형으로_바꾸기.exe

4. 직사각형으로 계산하기

이제 융판으로 만든 원과 직사각형을 붙여 놓았다. 가로와 세로에 숫자❶ ❷로 표시도 해두었다.

“❶은 무엇일까?”

“❷는 무엇일까? 어떻게 구할까?

차근차근 물어가면서 또 한 사람씩 시켜서 말한다.

아이들이 답하는 말을 따라 칠판에 쓴다.

‘원주의 반 × 반지름’이란 결과가 나온다.

“원주는 어떻게 구하지?”

또 한 아이를 시킨다.

“지름×3.14요!”

“그래, 그래서 지름×3.14에 반이니까?”

“나누기 2요!”

“그렇지, ‘÷2’ 반지름하고는?”

“곱하지요.”

‘지름×3.14÷2 × 반지름’ 이라고 완성이 된다.

“‘×3.14’과 ‘÷2’를 자리를 바꾸어서 ‘지름÷2 ×3.14’라고 해도 되겠니?”

“네!”

‘지름÷2’를 빨간 빗줄을 그으며

“그럼 ‘지름÷2’를 무엇이라고 하면 되지?”

“음, 반지름요!”

“그래, 그렇지 다시 쓰면 ‘반지름× 3.14 × 반지름’이 나왔네. 이제 이것을 다 같이 읽어보세요.”

“반지름 × 3.14 × 반지름!”

“여기에서 3.14와 (뒤) 반지름도 자리를 바꾸자! (자리를 바꾸고) 읽어봐요.”

“반지름 곱하기 반지름 곱하기 3.41!”

“여기서는 왜 이렇게 자리를 바꾸었지?”

“반지름 곱하기 3.14 곱하기 반지름은 외우기가 불편해요. 말하기가 힘들어요!”

“그래, 외우기 쉽게 하려고 위치를 바꾼 것입니다. 결국 원의 넓이는 반지름 곱하기 반지름 곱하기 3.14라는 공식이 나오죠. 그냥 막 외위기 보다는 이런 과정을 거쳐서 나왔다가는 것을 알아야 의미를 제대로 알죠.”

5. 삼각형으로 계산하기

원이 삼각형으로 바뀐 모양을 만들어서 붙였다. 밑면에는 ❶ 높에는 ❷로 표시했다.

“이 삼각형의 넓이는 어떻게 구하나요?”

“❶×❷ ÷2 요.”

모두 합창하면서 큰 소리로 말한다.

“자, 그럼 이번에도 한 사람 씩 시켜 볼게요.”

“❶은 원의 무엇과 같지요?”

“원주요!”

또 다른 아이를 시킨다.

“❷는?”

“반지름요!”

‘원주’에 밑줄을 그으며

“원주는 또 어떻게 구하지?”

“지름 × 3,14요”

이렇게 말을 주고받으면 써가고 앞 직사각형의 계산과 같이 자리를 바꾸어가면서 결국 ‘반지름 × 반지름 × 3.14’이 나온다.

6. 교과서 문제와 익힘책 풀기

이제까지 보고 듣고 말하기를 하고 공책 쓰기를 하면서 공부했다. 이제 교과서 문제를 푼다. 복습인 셈이다. 설명 들었던 것을 되새기며 들은 대로 교과서에 나오니까 확인하면서 푼다. 이때 스티커로 붙이는 것을 한다. 아이들 책상 사이를 둘러보면서 살핀다. 삼각형으로 하는 방법은 교과서에 나오지 않으니 공책에 쓴다. 확인한다.