땀샘 학급살이 이야기

[544] 2014.6.23.

수학, 7.비례식[120-124] 수학 익힘책 풀이

비례식의 활용으로 두 번째 시간이다. 수학 책 여러 가지 문제에서 조금 풀어봐서 어느 정도 해결할 부분이지만 다시 풀도록 했다. 아이들이 많이 틀리거나 헷갈리는 부분이다. 특히 문제해결이 까다롭다.

먼저 비례식을 다 쓰도록 했다. 비례식의 성질로 푸는 과정을 아이들 스스로 하게 했다. 한 사람씩 쓴 식을 보고 숫자 밑으로 단위를 적었다. 전항과 후항의 단위가 다르다. 단위를 적어놓으면 비례식을 쓸 때 항마다 알맞은 수가 자리 잡아야 한다. 간혹 전항과 후항의 자리를 바꾸어 놓는 아이도 있다. 그래서 정확한 자리 생각할 수 있도록 단위를 붙여 두었다.

문제해결 문제는 비례식의 성질인 외항의 곱과 내항의 곱이 같다는 성질을 거꾸로 이용한 문제다. 두 수의 곱이 외항이나 내항이 된다는 것이다. 이렇게 거꾸로 생각하는데 집중력과 높은 이해력이 필요하다. 내가 다 풀기보다 중간 중간 한 아이씩 나오게 해서 빈자리에 어떤 수가 들어 가야하는지 알고 있는지 자꾸 점검하면서 설명한다. ‘의’라는 말이 곱하기가 된다는 것도 먼저 알아야 한다.

[539] 2014.6.20.

수학, 7.비례식(110-111), 어려운 문제만 풀어 주기

1. 어려운 문제만 찾기

문제를 풀어봅시다. 이 단원에서는 아이들이 먼저 풀게 한다. 풀다가 선생님 설명이 필요한 부분, 어려운 것, 시간이 많이 걸리는 것을 찾아는 방법으로 풀어나가기로 했다.

2. 칠판에 어려운 문제 표시하기

칠판에 아홉 문제 숫자를 표시해두었다. 풀기 힘든 문제를 누구든지 나와서 바른 정(正)로 표시한다. 이렇게 하면 아이들이 무엇을 모르거나 힘들어하는 지 알 수 있다. 모르는 것을 부끄럽게 여기지 말고 제대로 아는 것이 공부다. 쉽게 푸는 것은 함께 답을 불러가면서 넘어간다.

오늘은 4, 7, 9번이 아이들이 힘들어 했다. 나머지 번호는 답을 부르면 잘 풀었다.

3. 묻는 내용을 뚜렷하게 말부터 하기

이 문제는 4명 정도가 힘들다고 했다. 비례식이니까 먼저 아이들에게 물었다.

“‘비례식으로 나타내시오’라고 말했으니 어떤 식으로 말해야 해?”

“무엇 대 무엇은 무엇 대 무엇이요!”

일단 답하는 형식을 알았으면 이제 찾아본다. 먼저 가장 먼저 나오는 비인 ‘6;5’를 가지고 다음에 나오는 세 가지 비와 견주면 된다. 이때 때 비의 성질이나 비례식의 성질을 이용하면 된다. 아이들에게 물어보니 비의 성질과 비례식의 성질 가운데 어느 것이 이용하는 것이 좋으냐고 물으니, 대부분 비례식의 성질이라고 말한다. 그래서 내항의 곱과 외항의 곱을 해나가면서 같은 것을 찾아가면 된다. 이런 성질을 이용하면 암산으로도 가능하다. 하지만 이러다가 방심하거나 실수하서 틀리기도 한다. 연습장에 풀어가면서 한다.

4. 식 세우기

앞 시간에 이런 문제가 나왔는데 아직 뚜렷하게 개념이 서지 않는 아이가 있다. 우선 이 문제는 필요한 숫자를 써 놓는다. 6개가 1000원이고, 24개면 몇 개인가를 표시한다.

‘6개, 1000원, 24개, ▢’이런 숫자를 칠판에 써 놓고 비례식으로 나타내는 것이 먼저다

‘개’와 ‘원’을 빼고 숫자만 가지고 ‘개수 : 가격 = 개수 : 가격’로 만든다.

이런 식 자체를 만들기가 힘들어한다. 그 뒤는 문제를 쉽다.

비례식만 만들어지면 쉽다. 두 가지 방식이라고 했으니까 비의 성질과 비례식의 성질로 풀면 된다. 이런 두 가지 성질을 글로 써놓고 풀도록 한다. 이런 성질의 개념 없이 기계적으로 푸는 아이도 있다. 답을 맞더라도 수학 논리와 개념이 뚜렷하지 않으면 논리가 안 선다. 그래서 꼭 푸는 식만 있을 게 아니라고 이런 성질을 기록도 하도록 한다.

아이들이 식으로 풀기는 하는데 왜 그렇게 되는지 설명하라고 하면 못하는 까닭이 여기에 있다.

5. 비의 성질이냐, 비례식의 성질이냐?

9번 문제는 아마 큰 수이기도 하고 예금과 이자라는 말의 의미가 뚜렷하게 생각하지 못했을 수도 있다. 이 문제도 두 가지 방법으로 해결 가능하다. 그런데 풀어보면 비의 성질로 푸는 게 헷갈리지 않는다. 비례식의 성질로 하면 큰 숫자로 계산하기가 실수하기 쉽다. 비의 성질과 비례식의 성질을 적절한 활용해야 한다.

6. 거꾸로 풀기 도움 본보기

시간이 어느 정도 남아서 수학 익힘책까지 풀었다. 아직 수학익힘책까지 풀이를 하지 못했다. 다음 시간에 할 것이다. 문제해결 문제에 막히는 아이들이 많다. 이 문제를 이해하기 위한 본보기 하나를 들었다. 거꾸로 푸는 과정을 보이기 위한 것이다.

직접 그 문제를 다루지 않고 이렇게 푸는 방법이 비슷한 문제로 아이들이 유추할 기회를 준다. 무슨 말인지 알아채는 애들도 있지만, 감을 잡지 못하는 아이도 있다. 이렇게 던져 주고 다음 시간에 차근차근 풀어 볼 것이다. 그동안 고민을 해보게끔 한다.

[537] 2014.6.19.

수학, 7.비례식(108-109), 비례식을 이용한 문제 해결, 잘 듣기

1. 책 보지 않고 한 사람씩 나와서 푸는 방법으로

비례식의 성징을 이용해서 문제를 푸는 과정 공부다. 이미 비의 성질과 비례식의 성징을 공부했으면 적용하는 공부다. 그래서 이번에는 모두 칠판을 보게 하고 한 사람씩 나와서 식을 써보게 한다. 개념을 정확하게 알고 있는지, 묻는 질문에 적절하게 말을 하는지 진단하는 셈이다.

2. 비례식의 나타내기

화단을 줄인그림이 나온다. 세로가 6m다. 실제 그림에서 자로 재어보게 했다. 이것은 교과서를 봐야하니까 책을 펴서 잰다. 6cm가 나온다. 가로도 잰다. 8cm다.

이제 책을 덮고 칠판만 본다. 칠판에 그림을 그리고 자로 잰 세로와 가로는 빨간 분필로 쓰고, 실제 길이는 흰 분필로 썼다.

“자, 이제 여기서 알려고 하는 것이 무엇이지요?”

한 아이(모를 것 같은 아이)를 먼저 시킨다.

“.......”

갑자기 받는 질문을 이라고 머뭇거린다.

다시 묻는다.

“우리가 알려고 하는 게 무엇입니까?”

“가로 길이요!”

“그럼 이번에는 이것을 비례식으로 나타내봅시다!”

모두가 책을 보지 않고 공책에도 쓰면 안 된다. 칠판만 보게 한다. 30초쯤 한 아이가 또 시킨다. 이미 아는 아이 몇몇이 손을 든다. 손을 들지 말라고 하고 내가 시킨다. 모를 것 같은 아이(앞을 보지 않는 아이^^) 하나를 시킨다. 긴장감이 돈다.

칠판에 나가서 분필을 잡고 쓴다. ‘8:3’ 이라고 쓴다. 앉은 아이들 사이에서 웅성이기 시작한다. 칠판에서 쓴 아이가 이 분위기를 안다. 뭔가 틀렸다는 느낌이다. 왜 틀렸을까? 고민에 들어간다. 앉아 있는 아이가 가운데 또 한 아이를 시킨다. 이번에는 알 듯한 아이를 일으켜 세운다.

“맞아요?”

“아니요!”

“왜?”

“비례식이 아니에요!”

이쯤 되니 칠판에 쓴 아이가 이제 알았다는 듯 ‘아! 맞다“라고 소리를 낸다.

“**야, 나와서 다시 해볼래?”

나와서 고친다. ‘8:3=▢:6’이라고 쓴다.

너무 쉽게 풀릴 것 같지만 질문을 제대로 듣지 않는 아이가 있기 마련이다. 그런 애들도 시험을 치면 연산식 풀듯이 답을 맞힌다. 푸는 식을 안다고 문제를 이해하는 것이 아니다. 푸는 식을 안다는 마음에 오히려 질문을 귀담아 듣지 못한다. 잘 들어야 한다.

3. 비례식의 성질 확인하기, 묶기

활동 2번 문제도 같은 방법으로 푼다. 여전히 앞만 보게 한다. 간혹 살짝 공책에 빨리 적는 아이도 있다. 반칙이다. 빨리 적어놓으려는 마음부터 잡아야 한다. 나중에 설명하고 다시 풀 것이다. 늘 말해도 습관적으로 보고 빨리 쓰려는 아이가 있기 마련이다. 멈추게 하고 앞으로 보고 푸는 과정을 보게 한다.

“이번에는 비례식의 성질을 이용해서 풀어야겠네. 비례식의 성질이 뭐지?”

“외항의 곱은 내항의 곱과 같습니다!”

“그래, 그럼 **가 나와서 내항과 외항을 묶어보자. 외항은 빨간색, 내항은 흰색으로!”

비례식의 성질을 모두 합창하듯이 외친다. 한 아이를 시켜서 색분필로 내항과 외항을 잇도록 했다. 묶은 것은 보니 흰색이 외항, 빨간색이 내항이 돼버렸다. 거꾸로 표시했다. 색을 달리 해라는 말을 귀담아 듣지 않았다.

“틀렸습니다!”

줄을 그은 아이가 왜 틀렸는지 갸우뚱거린다.

“왜 틀렸지?”

모두에게 물었다.

“외항은 빨간색, 내항은 흰색으로 묶으라고 했습니다.”

“그래, 그냥 안쪽, 바깥쪽으로 잇기만 했네.”

“수학도 국어 시간처럼 잘 들어야 합니다. 무엇을 질문하고 답해야하는지 새겨들어야지요. 수학이 오히려 더 정확하게 듣고 답해야 합니다.”

수학 시간에 자주 힘주어 하는 말이다. 듣는 마음과 몸가짐이 중요하다.

그래서 이런 과정에서는 교과서 보지 않고, 공책도 쓰지 않도록 한다. 보고 듣고 생각하라는 뜻이다. 칠판에 답이 쓰면 무조건 보고 써놓으려는 행동이 자주 나온다. 그것은 보고 베끼는 것이다. 생각해서 스스로 푸는 게 아니다. 나중에 시간을 준다고 했는데도 써놓지 않으면 불안감을 지니기도 한다. 연필을 잡지 않고 차분히 보고 듣고 참여하자.

‘비례식으로 나타내보세요’

‘외항의 곱과 내항의 곱으로 묶어 보세요.’

‘식으로 써보세요.’

세 질문을 되풀이 했다. 이제 익숙해진다. 질문에 적절할 말을 곧잘 한다.

세 번째 문제는 부진 아이를 시켜본다. 비례식을 쓰고 내항과 외항까지 묶어낸다. 식도 쓴다. 같은 방식으로 세 번 되풀이하니까 기억된다.

4. 비례식의 성질 응용

네 번째 문제를 비례식의 성질을 약간 응용했다.

‘외항의 곱은 내항의 곱과 같다’고 했으니 거꾸로 ‘내항의 곱은 외항의 곱과 같다’고도 할 수 있다. 그래서 구하고자하는 ▢를 왼쪽에 둘 수 있다. 물론 오른쪽에 두고 계산해도 별 문제는 없다. 늘 왼쪽에 두는 게 익숙해서 이렇게 내항의 곱을 먼저 쓰도 된다는 의미를 생각해보자는 말이다.

그런데 이 문제를 답은 정수로 딱 떨어진다. 6이라고 떨어지기 때문에 답이 6시간이다.

“그런데 이게 6.5라면 뭐라고 답하지?”

대부분 아이가 6시간 30분이라고 하지만 그냥 생각 없이 6시간 5분이라고 말할 수도 있다. 그래서 다시 짚어주었다.

“6.25이라고 나오면 몇 시간 몇 분이지?”

“6시간 15분요!”

5. 교과서 보기와 공책 정리, 다시 풀기

이제 남은 시간에 교과서를 다시 보고, 공책에 쓰도록 한다. 되도록 칠판을 그대로 베끼기보다 스스로 풀어보고 칠판보고 맞는지 맞춰보는 마음으로 기록해 나간다. 

[531] 2014.6.16.

수학, 7.비례식(106-107), 비례식 성질 알아보기

1. 비례식 성질을 이용하기

앞 시간에 비례식의 성질 두 가지를 배웠다. 이번에는 세 번째다. 교과서 예시는 비례식의 성질을 찾는 공부다. 이미 선수 학습을 한 아이들은 답을 먼저 알거나 성질을 몰라도 눈대중으로 찾아낸다. 큰 수가 아닌 작은 수는 눈대중 계산이 가능하다고 아는 것이 아니다. 성질을 알아내고 그 성질을 이용하여 까다로운 문제를 풀 수 있어야 한다. 소수점이나 대분수가 들어가는 비례식은 눈대중이 가능하지 않다.

2. 비례식의 성질 활용

비례식을 찾는 것부터 나온다. 찾을 때는 눈대중으로 가능하다. 그것은 앞 시간에 배운 전후 항에 0이 아닌 자연수를 곱하거나 나누어도 비율이 같다는 성질로 충분하다. 그렇지만 오늘은 내항과 외항의 곱으로 알아보는 것이다. 다르게 생각할 수 있지만, 오늘 배운 성질을 이용하도록 안내했다. 오늘까지는 이 성질로 풀고 다음에는 자기가 생각하지 쉬운 쪽으로 풀면 된다.

내항끼리 외항끼리 붉은 색분필로 묶어가며 말해주었다.

세 번째는 활용해서 푸는 문제다. 비례식에서 모르는 네모 항을 찾는 문제다. 아직은 눈대중으로 가능하다. 오히려 앞 시간에 배운 성질로 풀면 더 쉽다. 그래도 내항의 곱과 외항의 곱으로 푼다. 외합을 먼저 쓰기고, 내항을 먼저 쓰기도 한다. 어느 것이 앞에 둘 것인지 편리한대로 한다. 나중에 비례식 활용을 할 때 내항의 곱과 외항의 곱의 자리바꿈이 필요한 부분이 나온다. 그래서 내항의 곱, 외항의 곱을 자리바꿈해도 같다는 개념을 함께 알게 하고 확인한다.

[520] 2014.6.10

수학, 7.비례식, 가장 작은 자연수의 비로 나타내기(104-105)

1. 교과서 보지 않고 칠판만 보기

책을 보지 않고 칠판만 본다.

“찰흙 한 덩이를 전체 1/3은 음식, 2/5는 그릇으로 만들었다. 음식과 그릇의 비를 어떻게 답하지?”

한 아이를 시켰다. 30초 쯤 생각하더니 머뭇거리고 있다.

“틀려도 좋으니 생각나는 대로 말해봐!”

“1/3대 2/5이요.”

“그럼, 써보세요.”

파란 분필로 썼다. 다른 한 애를 시킨다.

“음식과 그릇의 비가 맞는다고 생각하니?”

“......아니요.”

“그럼 어떻게 답해야 해?”

“......”

다른 아이를 또 시킨다.

“음식과 그릇의 비가 맞는다고 생각하니?”

“네, 맞아요!”

내가 하는 질문 느낌으로 답하는 아이도 있다.

책을 덮어놓고 차근차근 묻고 답하는 과정이 긴장감을 주지만 깊이 생각하게 하는 시간이기도 하다.

2. 가장 자연수의 비를 구하기 위해 필요한 과정(통분)

가장 작은 자연수의 비를 구하기 위해 분모를 통분해야 한다. 분모가 다르니 비율을 가늠하기가 쉽지 않다. 자연수로 된 비가 눈에 익숙하다. 그래서 자연수의 비로 고치기 위해 통분해서 해결한다. 결국 분자와 분자에 같은 수를 곱하여 공통분모를 만든다. 이때 최소공배수가 쓰인다.

다음으로 소수, 큰 자연수, 소수와 분수의 비가 나온다. 한꺼번에 나란히 써 놓았다. 그리고 전항과 후항 표시도 해두었다.

앞 시간에 배운 것을 다시 생각할 수 있도록 먼저 물어본다.

“두 가지 성질이 있었는데 그게 뭐지?”

답이 나올 때까지 몇 번씩 되풀이해서 묻는다. 다섯 번쯤 물으니까 한 두 아이가 말을 잇기 시작하더니 전체가 합창하듯이 말한다. 기다려주면 생각해서 찾아낸다. 내가 먼저 답을 말하지 않는다. 맞아도 틀린 듯 표정을 한다.

앞 시간에 익힌 비례식의 성질을 이용해서 푼다.

첫 번째 ‘전항과 후항에 0이 아닌 수를 곱하여도 비율은 같다’는 성질을 이용하여 소수를 간단한 자연수로 나타낸다. 전후 항에 곱셈을 한다.

두 번째는 ‘전항과 후항에 0이 아닌 수로 나누어도 비율은 같다’는 성질로 큰 자연수를 간단한 자연수로 나타낸다. 전후 항에 나눗셈을 한다.

세 번째는 첫 번째와 두 번째 성질을 차례로 적용한다.

이런 성질을 이용해서 푼다는 것을 이해하지 못하고 선수학습이나 무작정 통분하면 되겠다는 짐작으로 한다면 결론이 같아도 수학적 논리가 서지 않는다. 물론 이렇게 꼭 따지지 않아도 풀려진다. 하지만 앞 시간에 배운 것을 활용해서 논리력을 키워야겠지.

3. 교과서 보기와 익히기와 실력 기르기는 공책에

이제 개별로 교과서를 보고 풀고, 공책에도 쓴다. 칠판에 있는 것을 보고 이해했다면 이제는 다시 바로 복습하는 겸 정리해 나간다. 교과서 익히기 문제와 수학 익힘책 실력 기르기 문제는 공책에 써서 푼다.

4 수학 익힘책의 실력 기르기 문제

수학 익힘책의 실력 기르기 문제가 애매하다. 그냥 생각 없이 숫자만 보고 끼워 맞추기 식으로 풀다가는 틀린다. 책 읽는 시간인 3시간, 4시간이고 묻는 것은 책을 읽은 양이다. 시간이 나타나고 양을 물었다. 그런데 시간만 보고 3:4라고 답하는 아이가 많다. 그래서 제대로 보라고 일러주었다. 문장 해석을 잘 해야 한다. 책 읽는 양은 각각 1/3, 1/4이다. 그래서 비는 1/3:1/4이다. 결국 4:3이다. 문장 이해력이 필요하다.

아이들이 놓치거나 실수할 수 있는 부분이 무엇인지 짚어주는 게 중요하다. 다 알 것 같지만 꼭 확인해봐야 한다. 해마다 같은 학년을 하면서 표시해 둔 부분이다. 수학은 이런 부분에서 실수를 하거나 놓치기 쉽다. 오히려 문장을 해석하는 국어 수업 같기도 하다. 꼼꼼하고 철저해야하는 마음가짐이 필요하다. 수학하는 마음 가운데 하나일 것이다.

[518] 2014.6.9.

수학, 7.비례식/ 비례식과 비의 성질 알아보기

비례식과 비의 성질을 묶어서 한 차시 공부로 했다.

“두 비는?”

“비의 값은?”

“비율은?”

이 물음에 어떻게 답을 해야 하는지 헷갈려 하는 아이가 보인다.

답을 말하기 전에 자꾸 물었다.

몇 대 몇, 몇 분의 몇이라고 말하는 것이 어느 쪽에 해당하는 알쏭달쏭 하는 아이도 보인다. 몇 번을 묻고 정해준다. 어느 정도 물으면 아이들이 찾아낸다. 눈치로 찾기도 한다.

비율은 분수로 나타내고 전항, 후항, 내항, 외항 이름도 곧잘 안다.

비의 성질은 두 가지다. 칠판에 써가면서 하는 것이 좋다. 한꺼번에 눈에 들어오면 좋다. 비를 쓰고 그 옆으로 비율로 나타내고 밑으로 어떻게 변했는지 화살표를 하면서 설명한다.

전항과 후항의 곱하기 2, 곱하기 3을 하면서 변하는 모습이 이미지화 된다. 비율이 같아지는 것을 알 수 있다. 약분하면 똑같다. 이렇게 위에서 아래로는 전후 항으로 곱하는 형식으로, 왼쪽에서 오른쪽으로 비율은 같은 것으로 써 놓고 비의 성질 첫 번째를 정의한다. 비의 전항과 후항에 0이 아닌 수를 곱하여도 비율은 같다. 곱한다는 것과 비율에 네모 칸을 두어서 답하게 했다. 중요하다는 말이다. 이 말이 이미지화하면서 나타난 결과다.

두 번째 성질은 나눈다는 것만 달라진다. 첫 번째 성질과 같은 방식으로 아래위, 옆으로 써가면서 나눠지는 모습, 같은 비율을 보이게 해서 두 번째 성질의 정의를 내린다.