땀샘 학급살이 이야기

[473] 2014.5.9.

수학, 원의 넓이를 구하는 방법

1. 전시 학습 상기

원의 넓이를 어림으로 구하는 방법을 앞 시간에 공부했다. 원 안에 들어가는 최대 크기 마름모와 원을 포함하는 정사각형의 넓이를 합하여 나누어서 원의 넓이를 어림해서 구했다. 또 모눈 눈금을 그려서 안쪽 네모와 원을 품은 네모를 개수를 알아보기도 했다. 몇몇 아이들 일으켜 세워서 앞 시간에 이런 내용을 말하게 했다.

앞 시간에 원은 그대로 두고 내접과 외접, 또는 모눈 칸을 만들어서 구하는 방법을 썼다면 이번 시간은 원을 쪼개서 네모 모양으로 만들어 원을 구하는 것이다. 사각형의 넓이를 구할 수 있으니까 사각형 모양으로 만드는 것이다.

교과서에는 원 조각을 스티커를 떼서 모눈종이 붙여 보도록 하고 있다. 먼저 이런 활동을 하게 하면 시간도 많이 걸리고, 하고 나서 무엇을 했는지 감을 잡지 못하기도 한다. 그래서 작업은 함께 개념을 알고 난 뒤로 하기로 했다.

오늘은 이 교과서는 나와 함께 설명을 듣고 서로 이야기 나눈 뒤 다시 되돌아보는 복습 차원에서 풀이를 한다.

2. 조각내기 영상으로 알아보기

예전에 만들어둔 플래시 자료를 먼저 이용했다. 클릭하면 8조각, 16조각이 쪼개지면서 점점 평행사변형에서 직사각형 모양으로 바뀌어간다.

원주도 둘로 나뉘어 져서 가로의 길이로 바뀐다.

아이들에게 한 사람씩 질문을 하면서 가로의 길이를 어떻게 구하는지, 어떤 길이인지 맞춰가도록 했다. 원주라고 말하는 아이도 있고, 원 둘레의 반, 원주의 반이라고 하는 아이도 있다. 답은 원주의 반이다. 원 둘레의 반이다.

32조각으로 나뉘는 것도 나오고 최종 직사각형으로 바뀌는 것 까지 나온다.

네 번 씩이나 가로의 길이를 어떻게 구하면 될 것인지 물었다. 세로의 길이가 반지름이란 것을 직감으로 아는데 가로의 길이를 바로 말하지 못하는 아이가 몇몇 있다. 쪼개져서 다시 사각형 모양으로 모이는 장면을 8조각, 16조각, 32조각, 수많은 조각을 보면서 되풀이해서 같은 답이 나온다. 그래서 결국 원의 넓이는 직사각형의 넓이가 된다. 그 아래 풀이과정은 보여주지 않고 넘겼다. 여기서는 가로의 길이가 원주의 반이라고 개념만을 확실히 알면 된다.

땀샘_원넓이이해_완성.exe

3. 다른 도형으로 바꾸기(삼각형으로도)

두 번째 플래시 파일도 같은 방법이다. 그런데 한 가지 더 있다.

직사각형으로 바뀌는 것은 바로 앞에서 했으니 다시 보며 복습을 한 번 더 하는 셈이다. 직사각형으로 바뀌어가는 형상을 본다.

“직사각형 말고 다른 모양으로 원을 바꾸는 방법은 없을까?”

이렇게 물었지만 갸우뚱거리기만 할 뿐이다. 교과서에도 나오지 않는 방법이다.

삼각형으로 바꾸는 방법이다. 양파 껍질 까듯이 한 겹 한 겹 벗겨서 만드는 것이다. 여기까지 영상을 보면서 바뀌는 모양을 탐색해 보았다.

원을_다른_도형으로_바꾸기.exe

4. 직사각형으로 계산하기

이제 융판으로 만든 원과 직사각형을 붙여 놓았다. 가로와 세로에 숫자❶ ❷로 표시도 해두었다.

“❶은 무엇일까?”

“❷는 무엇일까? 어떻게 구할까?

차근차근 물어가면서 또 한 사람씩 시켜서 말한다.

아이들이 답하는 말을 따라 칠판에 쓴다.

‘원주의 반 × 반지름’이란 결과가 나온다.

“원주는 어떻게 구하지?”

또 한 아이를 시킨다.

“지름×3.14요!”

“그래, 그래서 지름×3.14에 반이니까?”

“나누기 2요!”

“그렇지, ‘÷2’ 반지름하고는?”

“곱하지요.”

‘지름×3.14÷2 × 반지름’ 이라고 완성이 된다.

“‘×3.14’과 ‘÷2’를 자리를 바꾸어서 ‘지름÷2 ×3.14’라고 해도 되겠니?”

“네!”

‘지름÷2’를 빨간 빗줄을 그으며

“그럼 ‘지름÷2’를 무엇이라고 하면 되지?”

“음, 반지름요!”

“그래, 그렇지 다시 쓰면 ‘반지름× 3.14 × 반지름’이 나왔네. 이제 이것을 다 같이 읽어보세요.”

“반지름 × 3.14 × 반지름!”

“여기에서 3.14와 (뒤) 반지름도 자리를 바꾸자! (자리를 바꾸고) 읽어봐요.”

“반지름 곱하기 반지름 곱하기 3.41!”

“여기서는 왜 이렇게 자리를 바꾸었지?”

“반지름 곱하기 3.14 곱하기 반지름은 외우기가 불편해요. 말하기가 힘들어요!”

“그래, 외우기 쉽게 하려고 위치를 바꾼 것입니다. 결국 원의 넓이는 반지름 곱하기 반지름 곱하기 3.14라는 공식이 나오죠. 그냥 막 외위기 보다는 이런 과정을 거쳐서 나왔다가는 것을 알아야 의미를 제대로 알죠.”

5. 삼각형으로 계산하기

원이 삼각형으로 바뀐 모양을 만들어서 붙였다. 밑면에는 ❶ 높에는 ❷로 표시했다.

“이 삼각형의 넓이는 어떻게 구하나요?”

“❶×❷ ÷2 요.”

모두 합창하면서 큰 소리로 말한다.

“자, 그럼 이번에도 한 사람 씩 시켜 볼게요.”

“❶은 원의 무엇과 같지요?”

“원주요!”

또 다른 아이를 시킨다.

“❷는?”

“반지름요!”

‘원주’에 밑줄을 그으며

“원주는 또 어떻게 구하지?”

“지름 × 3,14요”

이렇게 말을 주고받으면 써가고 앞 직사각형의 계산과 같이 자리를 바꾸어가면서 결국 ‘반지름 × 반지름 × 3.14’이 나온다.

6. 교과서 문제와 익힘책 풀기

이제까지 보고 듣고 말하기를 하고 공책 쓰기를 하면서 공부했다. 이제 교과서 문제를 푼다. 복습인 셈이다. 설명 들었던 것을 되새기며 들은 대로 교과서에 나오니까 확인하면서 푼다. 이때 스티커로 붙이는 것을 한다. 아이들 책상 사이를 둘러보면서 살핀다. 삼각형으로 하는 방법은 교과서에 나오지 않으니 공책에 쓴다. 확인한다.

[470] 2014.5.8.

수학, 원의 넓이 어림해보기

1. 자료 만들기

융판 자료를 만들었다. 원, 원에 외접한 정사각형, 원에 내접하는 마름모를 만들었다. 해마다 이 차시는 아이들이 헷갈려하는 부분이 있다. 세 도형을 교과서대로 겹쳐 그리면 보기도 헷갈리고 설명을 하면 무슨 말인지 못 알아듣거나 감을 잡지 못하기도 하는 것이다. 눈에 뚜렷하게 쉽게 다가갈 방법을 없을까 고민을 했다. 그래서 도형을 나눴다가 다시 겹쳤다 하면서 움직이면 좋겠다는 생각이 떠올랐다. 융판으로 만들어서 칠판에도 붙게 뒤에 자석을 붙였다.

2. 원에 외접하는 정사각형

원의 넓이는 모른다 하고 원에 외접하는 정사각형을 나란히 붙였다.

“어느 것이 더 커 보이지?”

당연히 정사각형이다. 이번에는 원을 정사각형 위로 겹쳤다. 그래 놓고 보니 더 확실해졌다. 다시 원과 정사각형을 나눠서 붙이고 정사각형이 크다는 기호(<)를 그렸다.

“그럼 이 정사각형의 넓이를 구할 수 있겠네?”

평소 수학을 잘 못하는 아이를 하나 시켰다.

“이거 식을 불러 줄래?”

“20 곱하기 20이요.”

“얼마?”

“40!”

따라서 썼다. 원과 정사각형의 비교가 쉽다.

3. 원에 내접하는 마름모

이번에는 마름모를 원에 겹쳤다.

“이 마름모는 원보다 커, 작아?”

“작지요!”

당연한 말씀. 다시 마름모를 떼내어서 왼쪽에 붙였다. 원이 크다는 기호(<)를 표시한다.

“**야, 마름모 넓이 구하는 공식이 뭐지?”

“......”

머뭇거린다. 공식을 잊은 모양이다.

“다같이 해보자.”

“한 대각선의 길이 곱하기 다른 대각선의 길이 나누기 이!”

마름모 밑에 공식을 써 놓았다.

다시 아까 머뭇거린 아이에게 물었다.

“이제 숫자로 불러봐!”

“20 곱하기 20 나누기 2!”

“그래, 잘 했다.”

“이러고 보니 원의 넓이는 무엇보다 크고 무엇보다 작지?”

“마름모보다 크고 정사각형보다 작아요!”

“숫자로는?”

“200보다 크고 400보다 작아요.”

“원의 넓이 얼마쯤이라고 할까?”

“300요!”

“왜?”

“200 더하기 400 나누기 2하면 돼요.”

“아, 그렇게 하면 되겠네.”

“어림이지만, 처음부터 막 아무 숫자나 찍어서 하는 게 아니라 이렇게 200과 400이라는 정확한 숫자를 구하고 수학 계산을 해서 정확히 짐작하는 것이 어림이다. 누구나 인정할 수 있는 방법이지.”

“이제 교과서 것을 다시 풀어보자.”

이때가지 교과서를 보지 않고 칠판만 보고 함께 풀었다. 그래서 교과서를 다시 보고 답하면서 되새김을 한다.

4. 점선을 활용한 어림

이번에는 원에다 점선을 그려서 채워진 네모를 세어서 원의 넓이를 어림하는 방법이다. 두 번째 방법이다. 교과서 그림 그대로 A3크기 마분지로 칼라 인쇄했다. 뒤에 자석을 붙였다.

이것은 교과서를 펴서 함께 한다. 먼저 원 안에 포함되는 빨간 선안 네모 개수를 센다. 다음은 원을 품는 녹색 선 안 네모 개수를 센다. 두 네모 개수를 사이에 원의 넓이가 있다.

이것도 평균을 내서 원의 넓이를 어림했다. 어림은 정확하지 않으니 ‘약’이라고 붙이도록 했다.

“약 310!”

5. 수학 익힘책 풀이

이제 수학 익힘책을 풀면 된다. 수학 익힘책이 교과서 내용과 이어져 있다. 두 번째 반복 연습과 응용 문제 풀이를 하는 셈이다. 5분 정도 시간을 주고 답을 불러주었다.

이번 시간은 도형 모양을 떼어내었다가 붙였다가 하면서 개념을 이해시키는데 효과적인 것 같다. 이 과정을 함께 풀고, 다음에 교과서를 보고 다시 확인하고, 공책에게 쓰게 해서 세 번 정도 반복이 되게 했다.

원의 넓이를 선수 학습하여 ‘반지름×반지름×3.14’로만 외운 것을 적용시켜서는 안 되는 일이다. 원의 넓이가 구하려고 노력한 옛 사람들 방식들을 경험하고 있다. 오늘은 두 가지이지만 내일부터는 원을 쪼개서하는 방법이 나온다. 이런 과정을 거치면서 원의 넓이 개념을 익혀 나간다. 수백 년 동안 인류가 연구하고 탐구한 과정이기도 하다. 그 결과만 외우고 나면 아무런 감정, 노력, 느낌도 없을 것이다. 수학에도 수학 감정을 함께 느껴야하지 않을까. 

모눈판에원.hwp